Uma caixa contém 10 bolas iguais em forma e tamanho, sendo 6 pretas e 4 brancas. Três bolas são removidas da caixa, mas suas cores não são observadas. Encontre a probabilidade de que a quarta bola removida seja branca, caso:
não haja reposição.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma caixa com 10 bolas (6 pretas e 4 brancas). Retiramos 3 bolas sem olhar suas cores e sem repôr na caixa. A pergunta é: qual a probabilidade de que a quarta bola que a gente tirar seja branca?
Conteúdo: probabilidade condicional e distribuição hipergeométrica (ou lei da probabilidade total). Vamos usar combinatória básica (coeficiente binomial) e a ideia de condicionamento (lei da probabilidade total).

Passo 2

Primeiro, a ideia geral: a gente não sabe quantas brancas saíram nos 3 primeiros sorteios, então vamos considerar todos os casos possíveis (0, 1, 2 ou 3 brancas) e usar a lei da probabilidade total:
P(4ª branca) = sumk=0^3 P(4ª brancamid k brancas nos 3 primeiros) cdot P(k brancas nos 3 primeiros) ªª
Para cada usamos a distribuição hipergeométrica para achar , e depois calculamos a chance de tirar branca na 4ª dado esse .

Passo 3

Calcular P(k brancas em 3) = binom4k,binom63-kbinom103 .
Usamos:
escolhe brancas das 4;
escolhe as demais pretas;
é o total de formas de tirar 3 bolas de 10.

Passo 4

Calcular P(4ª brancamid k) = 4-k7 ª.
Depois de tirar P(4ª branca) = sumk=0^3 4-k7 cdot binom4k,binom63-kbinom103 brancas, restam brancas e bolas no total. Então
ª
Agora aplicamos a soma:
ª

Passo 5

Vamos simplificar sem fazer todo mundo por extenso, porque dá pra notar um atalho de “simetria”: como a gente não olhou nenhuma cor das 3 primeiras, cada bola tem a mesma chance de aparecer em qualquer posição. Logo a chance de a 4ª ser branca é simplesmente a proporção de brancas no início:
P(4ª branca) = 410 = 25 ª

Resposta

A probabilidade de a quarta bola retirada ser branca é (ou 0,4).

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