Uma caixa contém 10 bolas iguais em forma e tamanho, sendo 6 pretas e 4 brancas. Três bolas são removidas da caixa, mas suas cores não são observadas. Encontre a probabilidade de que a quarta bola removida seja branca, caso:
não haja reposição.
não haja reposição.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma caixa com 10 bolas (6 pretas e 4 brancas). Retiramos 3 bolas sem olhar suas cores e sem repôr na caixa. A pergunta é: qual a probabilidade de que a quarta bola que a gente tirar seja branca?
Conteúdo: probabilidade condicional e distribuição hipergeométrica (ou lei da probabilidade total). Vamos usar combinatória básica (coeficiente binomial) e a ideia de condicionamento (lei da probabilidade total).
Conteúdo: probabilidade condicional e distribuição hipergeométrica (ou lei da probabilidade total). Vamos usar combinatória básica (coeficiente binomial) e a ideia de condicionamento (lei da probabilidade total).
Passo 2
Primeiro, a ideia geral: a gente não sabe quantas brancas saíram nos 3 primeiros sorteios, então vamos considerar todos os casos possíveis (0, 1, 2 ou 3 brancas) e usar a lei da probabilidade total:
Para cada
usamos a distribuição hipergeométrica para achar
, e depois calculamos a chance de tirar branca na 4ª dado esse
.
Passo 3
Calcular
.
Usamos:
Usamos:
–
escolhe
brancas das 4;
– escolhe as demais pretas;
– é o total de formas de tirar 3 bolas de 10.
–
–
Passo 4
Calcular
.
Depois de tirar brancas, restam
brancas e
bolas no total. Então
Depois de tirar
Agora aplicamos a soma:
Passo 5
Vamos simplificar sem fazer todo mundo por extenso, porque dá pra notar um atalho de “simetria”: como a gente não olhou nenhuma cor das 3 primeiras, cada bola tem a mesma chance de aparecer em qualquer posição. Logo a chance de a 4ª ser branca é simplesmente a proporção de brancas no início:
Resposta
A probabilidade de a quarta bola retirada ser branca é
(ou 0,4).