Considere o lançamento de dois dados. Sejam os eventos:
A: soma dos números obtidos é maior ou igual a 9 , e
B: número no primeiro dado maior ou igual a 4 .
Enumere os elementos de A e B. Obtenha A cap B, A cup B e A^c.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente joga dois dados e define dois eventos:
  • A: “a soma dos dois dados é maior ou igual a 9”.
  • B: “o número no primeiro dado é maior ou igual a 4”.
Conteúdo: teoria de conjuntos aplicada a probabilidade (espaço amostral, evento, união, interseção e complementar).
O que vamos precisar:
  1. Listar o espaço amostral S de um par de dados.
  2. Definir A e B como subconjuntos de S, enumerando seus elementos.
  3. Calcular A ∩ B, A ∪ B e o complementar Aᶜ, sempre listando resultados em LaTeX.

Passo 2

Primeiro, o espaço amostral de dois dados é
S = (i,j)mid iin1,2,3,4,5,6,;jin1,2,3,4,5,6,
total de pares ordenados .

Passo 3

Evento A = (3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6) : soma . A condição é . Vamos ver todas as somas possíveis:
  • Soma = 9:
  • Soma =10:
  • Soma =11:
  • Soma =12:
Logo

Passo 4

Evento B = (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),;(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),;(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) : “primeiro dado ”, ou seja . Enumerando todas as possibilidades de :
Temos pares.

Passo 5

Interseção Acap B = (4,5),(5,4),(6,3),(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6) : pares que estão em A e em B. Basta pegar os de A cujo primeiro componente .
De

só tiramos . Então

Passo 6

União Acup B = B cup (3,6) : tudo que está em A ou em B. Podemos juntar os 18 de B mais os de A que não estão em B. O único de A que não está em B é . Então
Se listar:
mais todos os 18 de B, totalizando 19 pares.

Passo 7

Complementar A^c = (1,1),(1,2),(2,1),dots,(6,2) : todos os elementos de que não estão em . Como tem 36 e tem 10, tem 26 pares. Uma forma de enumerar é agrupar pelos valores da soma :
Soma = 2:
Soma = 3:
Soma = 4:
Soma = 5:
Soma = 6:
Soma = 7:
Soma = 8:
Logo
com exatamente esses 26 pares.

Resposta

A gente encontra então:
A &= &(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)&, B &= &(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),;(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),;(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)&, Acap B &= &(4,5),(5,4),(6,3),(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)&, Acup B &= B cup (3,6), A^c &= (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1), & (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1), & (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)

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