Uma caixa contém 10 bolas das quais 6 são pretas e 4 são brancas. Assuma que as 10 bolas são igualmente prováveis de serem removidas da caixa. Remove-se três bolas sem observar suas cores.
(a) Determine a probabilidade de que todas as 3 bolas removidas sejam pretas, sabendo-se que pelo menos uma delas é preta.

Passo 1

Então, a gente tem uma caixa com 10 bolas: 6 pretas e 4 brancas. Vamos tirar 3 bolas sem olhar as cores. A matéria aqui é probabilidade, mais especificamente probabilidade condicional. Para resolver, vamos precisar usar combinações para contar as maneiras de tirar as bolas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de todas as 3 bolas serem pretas. Isso é dado pela combinação de 3 bolas pretas entre as 6 disponíveis, dividido pela combinação total de 3 bolas entre as 10:
P(Todas pretas) = binom63binom103
Calculando:
binom63 = 20 e binom103 = 120
Então:
P(Todas pretas) = 20120 = 16

Passo 3

Agora, vamos encontrar a probabilidade de tirar pelo menos uma bola preta. É mais fácil calcular o complementar, ou seja, a probabilidade de todas as 3 bolas serem brancas, e depois subtrair de 1:
P(Pelo menos uma preta) = 1 - P(Todas brancas) = 1 - binom43binom103
Calculando:
binom43 = 4
Então:
P(Pelo menos uma preta) = 1 - 4120 = 1 - 130 = 2930

Passo 4

A probabilidade que a gente quer é a probabilidade de todas as bolas serem pretas, dado que pelo menos uma é preta. Isso é uma probabilidade condicional:
P(Todas pretas mid Pelo menos uma preta) = P(Todas pretas)P(Pelo menos uma preta) = 162930 = 16 times 3029 = 529

Resposta

A probabilidade é 529, ou aproximadamente 0,1724.

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