Uma caixa contém 10 bolas vermelhas e 5 pretas. Extrai-se ao acaso uma bola da caixa. Se a bola é vermelha, ela é recolocada na caixa. Se é preta, além de recolocá-la na caixa, adiciona-se duas bolas pretas à caixa. Determine a probabilidade de que a segunda bola extraída da caixa seja
(b) preta.
(b) preta.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos:
– Enunciado: Numa caixa tem 10 bolas vermelhas e 5 pretas. A gente tira uma bola. Se ela for vermelha, a coloca de volta normalmente; se for preta, coloca de volta e ainda adiciona mais 2 bolas pretas. Depois disso, a gente faz uma segunda extração. Queremos a probabilidade de que essa segunda bola seja preta.
– Enunciado: Numa caixa tem 10 bolas vermelhas e 5 pretas. A gente tira uma bola. Se ela for vermelha, a coloca de volta normalmente; se for preta, coloca de volta e ainda adiciona mais 2 bolas pretas. Depois disso, a gente faz uma segunda extração. Queremos a probabilidade de que essa segunda bola seja preta.
Conteúdo que vamos usar: probabilidade condicional e o Teorema da Probabilidade Total.
O que precisamos saber/definir:
O que precisamos saber/definir:
- Evento
: “segunda bola é preta”. - Evento
: “primeira bola é preta” e seu complementar : “primeira bola é vermelha”. - Calcular
, , e . - Aplicar
Passo 2
Calcular
e
:
–
–
–
–
Passo 3
Calcular
, ou seja, a chance de tirar preta na 2ª extração dado que a 1ª foi vermelha.
Se a primeira foi vermelha, nada muda na caixa: continua com 10 vermelhas e 5 pretas, total 15 bolas.
Se a primeira foi vermelha, nada muda na caixa: continua com 10 vermelhas e 5 pretas, total 15 bolas.
Passo 4
Calcular
, a chance de tirar preta na 2ª extração dado que a 1ª foi preta.
Nesse caso, a gente repõe a preta e ainda adiciona 2 pretas. Então a caixa fica com 10 vermelhas e pretas, total de
bolas.
Nesse caso, a gente repõe a preta e ainda adiciona 2 pretas. Então a caixa fica com 10 vermelhas e
Passo 5
Agora aplica o Teorema da Probabilidade Total:
Vamos calcular em latex:
Resposta
A probabilidade de que a segunda bola extraída seja preta é