Uma caixa contém 10 bolas vermelhas e 5 pretas. Extrai-se ao acaso uma bola da caixa. Se a bola é vermelha, ela é recolocada na caixa. Se é preta, além de recolocá-la na caixa, adiciona-se duas bolas pretas à caixa. Determine a probabilidade de que a segunda bola extraída da caixa seja
(b) preta.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos:
– Enunciado: Numa caixa tem 10 bolas vermelhas e 5 pretas. A gente tira uma bola. Se ela for vermelha, a coloca de volta normalmente; se for preta, coloca de volta e ainda adiciona mais 2 bolas pretas. Depois disso, a gente faz uma segunda extração. Queremos a probabilidade de que essa segunda bola seja preta.
Conteúdo que vamos usar: probabilidade condicional e o Teorema da Probabilidade Total.
O que precisamos saber/definir:
  1. Evento P(A) ;=; P(Amid B),P(B);+;P(Amid B^c),P(B^c) : “segunda bola é preta”.
  2. Evento : “primeira bola é preta” e seu complementar : “primeira bola é vermelha”.
  3. Calcular , , e .
  4. Aplicar

Passo 2

Calcular e :
ª
ª

Passo 3

Calcular P(Amid B^c) =bolas pretastotal =515 =13 , ou seja, a chance de tirar preta na 2ª extração dado que a 1ª foi vermelha.
Se a primeira foi vermelha, nada muda na caixa: continua com 10 vermelhas e 5 pretas, total 15 bolas.

Passo 4

Calcular P(Amid B) =717 , a chance de tirar preta na 2ª extração dado que a 1ª foi preta.
Nesse caso, a gente repõe a preta e ainda adiciona 2 pretas. Então a caixa fica com 10 vermelhas e pretas, total de bolas.

Passo 5

Agora aplica o Teorema da Probabilidade Total:
P(A) = P(Amid B),P(B) ;+; P(Amid B^c),P(B^c) = 13times717 ;+;23times13
Vamos calcular em latex:
P(A) = 13cdot717 + 23cdot13 = 751 + 29 = 751 + 34153 = 21 + 34153 = 55153

Resposta

A probabilidade de que a segunda bola extraída seja preta é

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