Uma caixa contém 10 bolas vermelhas e 5 pretas. Extrai-se ao acaso uma bola da caixa. Se a bola é vermelha, ela é recolocada na caixa. Se é preta, além de recolocá-la na caixa, adiciona-se duas bolas pretas à caixa. Determine a probabilidade de que a segunda bola extraída da caixa seja
(a) vermelha;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos uma caixa com 10 bolas vermelhas e 5 pretas. A gente extrai uma bola aleatoriamente. Se for vermelha, só recoloca ela; se for preta, recoloca e ainda adiciona mais 2 bolas pretas. Qual a probabilidade da segunda bola extraída ser vermelha?”
Isso é um problema de Probabilidade Condicional e Teorema da Probabilidade Total. Vamos usar:
- Eventos R₁ e P₁ (primeira bola vermelha ou preta)
- Depois calcular P(R₂|R₁) e P(R₂|P₁)
- E aplicar P(R₂)=P(R₁)·P(R₂|R₁)+P(P₁)·P(R₂|P₁).

Passo 2

Definindo os eventos:
R₁ = “1ª bola é vermelha”
P₁ = “1ª bola é preta”
Logo:
P(R1)=1015, P(P1)=515

Passo 3

Agora P(R₂|R₁): se a 1ª foi vermelha, nada muda na caixa (continua com 10 verm. e 5 pret.). Então
P(R2mid R1)=1015

Passo 4

E P(R₂|P₁): se a 1ª foi preta, você recoloca essa preta e ainda põe mais 2 pretas. Ficam 10 vermelhas e P(R2mid P1)=1017 pretas, total 17. Então

Passo 5

Aplicando o Teorema da Probabilidade Total para R₂ (segunda bola vermelha):
P(R2)=P(R1),P(R2mid R1)+P(P1),P(R2mid P1)
Substituindo:
P(R2) =1015cdot1015 ;+;515cdot1017 =100225+50255 =100cdot 173825+50cdot 153825 =1700+7503825 =24503825 =98153

Resposta

A probabilidade de a segunda bola ser vermelha é .

Exercícios relacionados