Uma caixa contém 10 bolas vermelhas e 5 pretas. Extrai-se ao acaso uma bola da caixa. Se a bola é vermelha, ela é recolocada na caixa. Se é preta, além de recolocá-la na caixa, adiciona-se duas bolas pretas à caixa. Determine a probabilidade de que a segunda bola extraída da caixa seja
(a) vermelha;
(a) vermelha;
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Temos uma caixa com 10 bolas vermelhas e 5 pretas. A gente extrai uma bola aleatoriamente. Se for vermelha, só recoloca ela; se for preta, recoloca e ainda adiciona mais 2 bolas pretas. Qual a probabilidade da segunda bola extraída ser vermelha?”
Isso é um problema de Probabilidade Condicional e Teorema da Probabilidade Total. Vamos usar:
- Eventos R₁ e P₁ (primeira bola vermelha ou preta)
- Depois calcular P(R₂|R₁) e P(R₂|P₁)
- E aplicar P(R₂)=P(R₁)·P(R₂|R₁)+P(P₁)·P(R₂|P₁).
Isso é um problema de Probabilidade Condicional e Teorema da Probabilidade Total. Vamos usar:
- Eventos R₁ e P₁ (primeira bola vermelha ou preta)
- Depois calcular P(R₂|R₁) e P(R₂|P₁)
- E aplicar P(R₂)=P(R₁)·P(R₂|R₁)+P(P₁)·P(R₂|P₁).
Passo 2
Definindo os eventos:
R₁ = “1ª bola é vermelha”
P₁ = “1ª bola é preta”
Logo:
R₁ = “1ª bola é vermelha”
P₁ = “1ª bola é preta”
Logo:
Passo 3
Agora P(R₂|R₁): se a 1ª foi vermelha, nada muda na caixa (continua com 10 verm. e 5 pret.). Então
Passo 4
E P(R₂|P₁): se a 1ª foi preta, você recoloca essa preta e ainda põe mais 2 pretas. Ficam 10 vermelhas e
pretas, total 17. Então
Passo 5
Aplicando o Teorema da Probabilidade Total para R₂ (segunda bola vermelha):
Substituindo:
Resposta
A probabilidade de a segunda bola ser vermelha é
.