Suponha que existe um teste para câncer com a propriedade de que
das pessoas com câncer e
das pessoas sem câncer reagem positivamente. Admita que
dos pacientes de um hospital tem câncer. Qual a probabilidade de que um paciente, escolhido ao acaso, que reage positivamente a esse teste, realmente tenha câncer?
Passo 1
Beleza, aqui vai o resumão:
– Enunciado: temos um teste de câncer que dá positivo em 90% de quem tem a doença (sensibilidade) e em 5% de quem não tem (taxa de falso positivo). Também sabemos que só 1% das pessoas tem câncer (prevalência). A questão: se alguém deu positivo, qual a chance real de ter câncer?
– Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
– O que vamos precisar:
– Enunciado: temos um teste de câncer que dá positivo em 90% de quem tem a doença (sensibilidade) e em 5% de quem não tem (taxa de falso positivo). Também sabemos que só 1% das pessoas tem câncer (prevalência). A questão: se alguém deu positivo, qual a chance real de ter câncer?
– Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
– O que vamos precisar:
- Definir eventos (ter câncer, não ter câncer, teste positivo).
- Calcular a probabilidade de um resultado positivo geral.
- Usar o Teorema de Bayes para inverter a condição e achar P(câncer | teste positivo).
Passo 2
Vamos colocar letra pra tudo:
- Seja
o evento “pessoa tem câncer”. - Seja
o evento “pessoa não tem câncer”. - Seja
o evento “teste dá positivo”.
Pelas informações: -
(1% de prevalência). -
. -
(sensibilidade). -
(falso positivo).
Passo 3
Agora calculamos a probabilidade total de dar positivo,
. Usa a Regra da Probabilidade Total:
Substituindo:
Passo 4
Agora sim, Teorema de Bayes pra achar
:
Resposta
A probabilidade de que a pessoa realmente tenha câncer, dado que o teste foi positivo, é de aproximadamente 15,38%.