Suponha que existe um teste para câncer com a propriedade de que 90 % das pessoas com câncer e 5 % das pessoas sem câncer reagem positivamente. Admita que 1 % dos pacientes de um hospital tem câncer. Qual a probabilidade de que um paciente, escolhido ao acaso, que reage positivamente a esse teste, realmente tenha câncer?

Passo 1

Beleza, aqui vai o resumão:
– Enunciado: temos um teste de câncer que dá positivo em 90% de quem tem a doença (sensibilidade) e em 5% de quem não tem (taxa de falso positivo). Também sabemos que só 1% das pessoas tem câncer (prevalência). A questão: se alguém deu positivo, qual a chance real de ter câncer?
– Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
– O que vamos precisar:
  1. Definir eventos (ter câncer, não ter câncer, teste positivo).
  2. Calcular a probabilidade de um resultado positivo geral.
  3. Usar o Teorema de Bayes para inverter a condição e achar P(câncer | teste positivo).

Passo 2

Vamos colocar letra pra tudo:
  • Seja o evento “pessoa tem câncer”.
  • Seja o evento “pessoa não tem câncer”.
  • Seja o evento “teste dá positivo”.
    Pelas informações:
  • (1% de prevalência).
  • .
  • (sensibilidade).
  • (falso positivo).

Passo 3

Agora calculamos a probabilidade total de dar positivo, P(+) = P(+mid C),P(C) ;+; P(+mid neg C),P(neg C) . Usa a Regra da Probabilidade Total:
P(+) = 0,90 times 0,01 ;+; 0,05 times 0,99 = 0,009 ;+; 0,0495 = 0,0585
Substituindo:

Passo 4

Agora sim, Teorema de Bayes pra achar P(Cmid +) = P(+mid C),P(C)P(+) = 0,90 times 0,010,0585 = 0,0090,0585 approx 0,1538 :

Resposta

A probabilidade de que a pessoa realmente tenha câncer, dado que o teste foi positivo, é de aproximadamente 15,38%.

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