Sejam
e
eventos tais que
e
. Mostre que
.
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre três eventos $ A $, $ B $ e $ C $, e nos dá algumas condições sobre as probabilidades deles. Nosso objetivo é mostrar que $ P(A \mid B \cap C) = P(A \mid B) $. Para isso, vamos precisar entender probabilidade condicional e como manipular as fórmulas de interseção de eventos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa $ P(A \mid B) $. Essa notação representa a probabilidade do evento $ A $ ocorrer dado que o evento $ B $ já ocorreu. A fórmula para isso é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para $ P(A \mid B \cap C) $. Aqui, queremos a probabilidade de $ A $ acontecer dado que tanto $ B $ quanto $ C $ já aconteceram. A fórmula fica:
Passo 4
A próxima etapa é expressar $ P(B \cap C) $ usando a definição de probabilidade condicional. Sabemos que:
Isso significa que a probabilidade de $ B $ e $ C $ ocorrerem juntos é a probabilidade de $ C $ ocorrer dado que $ B $ aconteceu, multiplicada pela probabilidade de $ B $.
Passo 5
Vamos agora olhar para a condição dada no problema: $ P(C \mid A \cap B) = P(C \mid B) $. Isso nos diz que a probabilidade de $ C $ dado que $ A $ e $ B $ aconteceram é igual à probabilidade de $ C $ dado apenas $ B $.
Passo 6
Usando essa condição, podemos reescrever $ P(A \cap B \cap C) $ da seguinte forma:
Passo 7
Substituindo $ P(A \cap B \cap C) $ e $ P(B \cap C) $ nas fórmulas que temos:
Resposta
Portanto, mostramos que $ P(A \mid B \cap C) = P(A \mid B) $.