Sejam A, B e C eventos tais que P(A cap B cap C) neq 0 e P(C mid A cap B)=P(C mid B). Mostre que P(A mid B cap C)=P(A mid B).

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre três eventos $ A $, $ B $ e $ C $, e nos dá algumas condições sobre as probabilidades deles. Nosso objetivo é mostrar que $ P(A \mid B \cap C) = P(A \mid B) $. Para isso, vamos precisar entender probabilidade condicional e como manipular as fórmulas de interseção de eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa $ P(A \mid B) $. Essa notação representa a probabilidade do evento $ A $ ocorrer dado que o evento $ B $ já ocorreu. A fórmula para isso é:
P(A mid B)

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para $ P(A \mid B \cap C) $. Aqui, queremos a probabilidade de $ A $ acontecer dado que tanto $ B $ quanto $ C $ já aconteceram. A fórmula fica:
P(A mid B cap C)

Passo 4

A próxima etapa é expressar $ P(B \cap C) $ usando a definição de probabilidade condicional. Sabemos que:
P(B cap C)
Isso significa que a probabilidade de $ B $ e $ C $ ocorrerem juntos é a probabilidade de $ C $ ocorrer dado que $ B $ aconteceu, multiplicada pela probabilidade de $ B $.

Passo 5

Vamos agora olhar para a condição dada no problema: $ P(C \mid A \cap B) = P(C \mid B) $. Isso nos diz que a probabilidade de $ C $ dado que $ A $ e $ B $ aconteceram é igual à probabilidade de $ C $ dado apenas $ B $.

Passo 6

Usando essa condição, podemos reescrever $ P(A \cap B \cap C) $ da seguinte forma:
P(A cap B cap C)

Passo 7

Substituindo $ P(A \cap B \cap C) $ e $ P(B \cap C) $ nas fórmulas que temos:
P(A cap B cap C)

Resposta

Portanto, mostramos que $ P(A \mid B \cap C) = P(A \mid B) $.

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