Suponha que se escolha ao acaso um ponto sobre o quadrado [0,1] times[0,1]. Sabendo-se que o ponto está no retângulo limitado por y=0, y=1, x=0 e x=1 / 2, qual é a probabilidade de que o ponto esteja no triângulo limitado por y=0, x=1 / 2 e x+y=1 ?

Passo 1

Resumo do enunciado: Escolhemos um ponto ao acaso no quadrado [0,1]×[0,1]. Já sabemos que ele está no retângulo B definido por 0≤x≤½ e 0≤y≤1. Queremos a probabilidade de que esse ponto também esteja no triângulo A limitado pelas retas
  • y=0
  • x=½
  • x+y=1
Conteúdo: probabilidade geométrica (área de figuras) e probabilidade condicional.
O que vamos precisar:
• Saber que, em probabilidade geométrica,
P(Amid B);=;área(Acap B)área(B) áá
• Calcular áreas de retângulos, triângulos e interseções.

Passo 2

Probabilidade condicional em contexto geométrico:
P(Amid B);=;área(Acap B)área(B) áá

Passo 3

Calcular a área do retângulo B:
B : 0≤x≤½ e 0≤y≤1
área(B) ;=;(½-0)times(1-0) ;=;tfrac12 á½

Passo 4

Entender o triângulo A e sua interseção com B:
• O triângulo A tem vértices em (½,0), (1,0) e (½,½).
• Mas B exige x≤½. Dentro de B, a parte de A fica só sobre a reta x=½, de y=0 até y=½.
• Essa “parte” é um segmento de reta, que tem área zero.

Passo 5

Calcular a área de A∩B:
área(Acap B)=0 á

Resposta

P(Amid B) =área(Acap B)área(B) =0tfrac12 =0 áá

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