Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6 lâmpadas ao acaso. Qual a probabilidade de que:
Exatamente duas estejam queimadas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • \,12\ lâmpadas no total.
  • Dessas, \,5\ estão queimadas.
  • Escolhem-se ao acaso \,6\ lâmpadas (sem ordenar).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente \,2\ das \,6\ escolhidas estejam queimadas?

Passo 2

Vamos traduzir o pedido para contagem de casos equiprováveis.
  • Cada subconjunto de \,6\ lâmpadas escolhido dentre as \,12\ é igualmente provável.
  • O espaço amostral tem tamanho igual ao número de maneiras de escolher \,6\ de \,12, que é a combinação \binom{12}{6}.
  • O evento “exatamente \,2\ queimadas” ocorre quando escolhemos \,2\ das \,5\ queimadas e, simultaneamente, escolhemos \,4\ das \,7\ lâmpadas não queimadas (pois 12-5=7).
Portanto a probabilidade será
P=\frac{\text{nº de escolhas favoráveis}}{\text{nº total de escolhas}}.ºáº

Passo 3

Precisamos usar o conceito de combinação. A combinação \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k elementos dentre n sem ordem e sem repetição. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots1. Ex.: 5!=120.

Passo 4

Calculemos o número de escolhas favoráveis: escolher \,2\ queimadas dentre \,5\ e \,4\ não-queimadas dentre \,7.
\text{favoráveis}=\binom{5}{2}\cdot\binom{7}{4}.á
Agora calculamos cada combinação:
\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!}= \frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10,
\binom{7}{4}=\frac{7!}{4!3!}= \frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35.
Multiplicando,
\text{favoráveis}=10\cdot35=350.á

Passo 5

Calculemos o número total de escolhas possíveis: \binom{12}{6}.
\binom{12}{6}=\frac{12!}{6!6!}.
Uma maneira prática de calcular é cancelar fatores:
\binom{12}{6}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=924.

Passo 6

Agora a probabilidade é
P=\frac{\text{favoráveis}}{\text{total}}=\frac{350}{924}.á
Simplificando a fração dividindo por 14:
\frac{350}{924}=\frac{25}{66}.
Como aproximação decimal (para ter uma intuição),
\frac{25}{66}\approx 0,379.

Passo 7

Interpretação rápida: a chance de obter exatamente duas queimadas ao escolher 6 lâmpadas dentre 12 (com 5 queimadas no total) é \dfrac{25}{66}, ou cerca de 37{,}9\%. Você pode replicar esse raciocínio sempre que tiver uma seleção sem reposição: contar as escolhas favoráveis por produto de combinações e dividir pelo total \binom{n}{k}. Vai dar certo na prova — respira, você consegue!

Resposta

\dfrac{25}{66} (aprox. 0,379)

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