Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6 lâmpadas ao acaso. Qual a probabilidade de que:
Exatamente duas estejam queimadas?
Exatamente duas estejam queimadas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Há
\ lâmpadas no total. - Dessas,
\ estão queimadas. - Escolhem-se ao acaso
\ lâmpadas (sem ordenar). - Pergunta: qual a probabilidade de que exatamente
\ das \ escolhidas estejam queimadas?
Passo 2
Vamos traduzir o pedido para contagem de casos equiprováveis.
- Cada subconjunto de
\ lâmpadas escolhido dentre as \ é igualmente provável. - O espaço amostral tem tamanho igual ao número de maneiras de escolher
\ de , que é a combinação . - O evento “exatamente
\ queimadas” ocorre quando escolhemos \ das \ queimadas e, simultaneamente, escolhemos \ das \ lâmpadas não queimadas (pois ).
Portanto a probabilidade será
Passo 3
Precisamos usar o conceito de combinação. A combinação
é o número de maneiras de escolher
elementos dentre
sem ordem e sem repetição. A fórmula é
onde
(fatorial de
) é
. Ex.:
.
Passo 4
Calculemos o número de escolhas favoráveis: escolher
\ queimadas dentre
\ e
\ não-queimadas dentre
.
Agora calculamos cada combinação:
Multiplicando,
Passo 5
Calculemos o número total de escolhas possíveis:
.
Uma maneira prática de calcular é cancelar fatores:
Passo 6
Agora a probabilidade é
Simplificando a fração dividindo por
:
Como aproximação decimal (para ter uma intuição),
Passo 7
Interpretação rápida: a chance de obter exatamente duas queimadas ao escolher 6 lâmpadas dentre 12 (com 5 queimadas no total) é
, ou cerca de
. Você pode replicar esse raciocínio sempre que tiver uma seleção sem reposição: contar as escolhas favoráveis por produto de combinações e dividir pelo total
. Vai dar certo na prova — respira, você consegue!