Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6 lâmpadas ao acaso. Qual a probabilidade de que:
Pelo menos uma esteja boa?
Pelo menos uma esteja boa?
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (resumido): uma caixa contém
lâmpadas, das quais
estão queimadas. Selecionam-se ao acaso
lâmpadas. A pergunta é: qual a probabilidade de que pelo menos uma das
escolhidas esteja boa?
Dados importantes: lâmpadas no total;
queimadas;
boas; amostra sem reposição de tamanho
. O que se pede: a probabilidade do evento “pelo menos uma boa” na amostra de
.
Dados importantes:
Passo 2
Vamos pensar em contagem de combinações para modelar o experimento. O espaço amostral (todas as escolhas possíveis de
lâmpadas entre
) tem tamanho
Explicando a fórmula:
é o número de maneiras de escolher
itens de um conjunto de
sem ordem;
(fatorial) é o produto
. Exemplo pequeno:
.
Passo 3
Usamos a regra do complemento para simplificar: a probabilidade de “pelo menos uma boa” é
Explicando: é muitas vezes mais fácil contar os casos em que não aparece nenhuma lâmpada boa (ou seja, todas queimadas) e subtrair de 1, pois “pelo menos uma” é o complementar do evento “nenhuma”.
Passo 4
Calculemos
, isto é, escolher
lâmpadas todas queimadas. O número de maneiras de escolher
queimadas entre as
queimadas disponíveis é
Mas se
então
porque não é possível escolher mais itens do que os que existem. Logo
ou seja, não há nenhuma seleção de
lâmpadas que seja composta só por queimadas, porque só existem
queimadas na caixa.
Passo 5
Agora a probabilidade de nenhuma boa é
Portanto, pela regra do complemento,
Intuição simples (sem contar): como só existem
lâmpadas queimadas e você escolhe
, por princípio da casa dos pombos você é forçado a pegar pelo menos
boa — logo o evento ocorre com certeza.