Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6 lâmpadas ao acaso. Qual a probabilidade de que:
Pelo menos uma esteja boa?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumido): uma caixa contém 12 lâmpadas, das quais 5 estão queimadas. Selecionam-se ao acaso 6 lâmpadas. A pergunta é: qual a probabilidade de que pelo menos uma das 6 escolhidas esteja boa?
Dados importantes: 12 lâmpadas no total; 5 queimadas; 12-5=7 boas; amostra sem reposição de tamanho 6. O que se pede: a probabilidade do evento “pelo menos uma boa” na amostra de 6.

Passo 2

Vamos pensar em contagem de combinações para modelar o experimento. O espaço amostral (todas as escolhas possíveis de 6 lâmpadas entre 12) tem tamanho
\binom{12}{6}=\frac{12!}{6!\,6!}.
Explicando a fórmula: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k itens de um conjunto de n sem ordem; n! (fatorial) é o produto n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Exemplo pequeno: \binom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!2!}=6.

Passo 3

Usamos a regra do complemento para simplificar: a probabilidade de “pelo menos uma boa” é
\mathbb{P}(\text{pelo menos uma boa}) = 1 - \mathbb{P}(\text{nenhuma boa}).
Explicando: é muitas vezes mais fácil contar os casos em que não aparece nenhuma lâmpada boa (ou seja, todas queimadas) e subtrair de 1, pois “pelo menos uma” é o complementar do evento “nenhuma”.

Passo 4

Calculemos \mathbb{P}(\text{nenhuma boa}), isto é, escolher 6 lâmpadas todas queimadas. O número de maneiras de escolher 6 queimadas entre as 5 queimadas disponíveis é
\binom{5}{6}.
Mas se k>n então \binom{n}{k}=0 porque não é possível escolher mais itens do que os que existem. Logo
\binom{5}{6}=0,
ou seja, não há nenhuma seleção de 6 lâmpadas que seja composta só por queimadas, porque só existem 5 queimadas na caixa.

Passo 5

Agora a probabilidade de nenhuma boa é
\mathbb{P}(\text{nenhuma boa})=\frac{\binom{5}{6}}{\binom{12}{6}}=\frac{0}{\binom{12}{6}}=0.
Portanto, pela regra do complemento,
\mathbb{P}(\text{pelo menos uma boa})=1-0=1.
Intuição simples (sem contar): como só existem 5 lâmpadas queimadas e você escolhe 6, por princípio da casa dos pombos você é forçado a pegar pelo menos 1 boa — logo o evento ocorre com certeza.

Resposta

\,1

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