Sabe-se que em uma população, a altura dos homens adultos tem distribuição normal com média 175 cm e desvio padrão 20 cm , enquanto que a das mulheres é também normal com média 160 cm e desvio padrão 10 cm .
Qual é a altura máxima dos homens que limita os
mais baixos?
Qual é a altura máxima dos homens que limita os
Passo 1
O enunciado pede: “Qual é a altura máxima dos homens que limita os
mais baixos?”
Informações dadas: a altura dos homens adultos segue uma distribuição normal com média cm e desvio padrão
cm.
Ou seja, precisamos encontrar o valor de altura tal que
da população masculina tenha altura menor ou igual a
.
Informações dadas: a altura dos homens adultos segue uma distribuição normal com média
Ou seja, precisamos encontrar o valor de altura
Passo 2
Entendendo o que significa “limita os
mais baixos”: isso é o percentil de ordem
(ou o primeiro decil). Formalmente queremos o
que satisfaz
onde
é a variável aleatória altura dos homens. Então
é o quantil de probabilidade
.
Passo 3
Vamos transformar a variável
(normal com média
e desvio
) em uma variável padrão. A padronização é uma ferramenta padrão para usar as tabelas da normal padrão. A fórmula é:
onde
tem distribuição normal padrão com média
e desvio padrão
. Explicando:
mede quantos desvios-padrão o valor
está afastado da média.
Passo 4
Usando a padronização, a condição
vira
Então precisamos do valor
tal que
. Esse
é o quantil
da normal padrão. Consultando uma tabela da normal padrão (ou usando conhecimento comum), o valor aproximado é
porque
e
. (A sinalização negativa indica que esse quantil está abaixo da média.)
Passo 5
Agora retornamos para
. Temos
Isolando
,
Substituindo
,
e
,
Passo 6
Façamos a multiplicação passo a passo:
Agora somamos à média:
Arredondando de forma usual para duas casas decimais (e usando notação com vírgula, comum em português):
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: esse valor significa que cerca de
dos homens têm altura menor ou igual a
. Faz sentido porque está bem abaixo da média
cm e a diferença é cerca de
desvios-padrão (
cm).