Sabe-se que em uma população, a altura dos homens adultos tem distribuição normal com média 175 cm e desvio padrão 20 cm , enquanto que a das mulheres é também normal com média 160 cm e desvio padrão 10 cm .
Qual é a altura máxima dos homens que limita os 10 \% mais baixos?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é a altura máxima dos homens que limita os 10\% mais baixos?”
Informações dadas: a altura dos homens adultos segue uma distribuição normal com média \mu=175 cm e desvio padrão \sigma=20 cm.
Ou seja, precisamos encontrar o valor de altura x tal que 10\% da população masculina tenha altura menor ou igual a x.

Passo 2

Entendendo o que significa “limita os 10\% mais baixos”: isso é o percentil de ordem 10\% (ou o primeiro decil). Formalmente queremos o x que satisfaz
P(X \le x)=0{,}10,
onde X é a variável aleatória altura dos homens. Então x é o quantil de probabilidade 0{,}10.

Passo 3

Vamos transformar a variável X (normal com média \mu e desvio \sigma) em uma variável padrão. A padronização é uma ferramenta padrão para usar as tabelas da normal padrão. A fórmula é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z tem distribuição normal padrão com média 0 e desvio padrão 1. Explicando: Z mede quantos desvios-padrão o valor X está afastado da média.

Passo 4

Usando a padronização, a condição P(X\le x)=0{,}10 vira
P\!\left(Z\le\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0{,}10.
Então precisamos do valor z tal que P(Z\le z)=0{,}10. Esse z é o quantil \Phi^{-1}(0{,}10) da normal padrão. Consultando uma tabela da normal padrão (ou usando conhecimento comum), o valor aproximado é
z\approx -1{,}2816,
porque P(Z\le -1{,}28)\approx 0{,}1003 e P(Z\le -1{,}2816)\approx 0{,}10. (A sinalização negativa indica que esse quantil está abaixo da média.)

Passo 5

Agora retornamos para x. Temos
\frac{x-\mu}{\sigma}=z.
Isolando x,
x=\mu+z\cdot\sigma.
Substituindo \mu=175, \sigma=20 e z\approx -1{,}2816,
x \approx 175 + (-1{,}2816)\cdot 20.

Passo 6

Façamos a multiplicação passo a passo:
(-1{,}2816)\cdot 20 = -25{,}632.
Agora somamos à média:
x \approx 175 - 25{,}632 = 149{,}368.
Arredondando de forma usual para duas casas decimais (e usando notação com vírgula, comum em português):
x \approx 149{,}37\\ \text{cm}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: esse valor significa que cerca de 10\% dos homens têm altura menor ou igual a \,149{,}37\\ \text{cm}. Faz sentido porque está bem abaixo da média 175 cm e a diferença é cerca de 1{,}28 desvios-padrão ( 1{,}28\times 20\approx 25{,}6 cm).

Resposta

149{,}37\\ \text{cm}

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