Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6 lâmpadas ao acaso. Qual a probabilidade de que:
Pelo menos duas estejam queimadas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • 12 lâmpadas no total.
  • Dessas, 5 estão queimadas.
  • São escolhidas 6 lâmpadas ao acaso, sem reposição (ou seja, uma seleção de 6 entre as 12).
  • Pergunta: qual a probabilidade de que “pelo menos duas” estejam queimadas na amostra de 6.
Informações relevantes extraídas: número total 12, número de queimadas 5, número de boas 7 (porque 12-5=7), tamanho da amostra 6. O evento que queremos é “ter pelo menos 2 queimadas” na amostra.

Passo 2

Ideia geral (explicação do método de contagem que vamos usar):
  • Quando escolhemos subconjuntos sem ordem (apenas quais lâmpadas foram escolhidas), contamos possibilidades com combinações, denotadas por \binom{n}{k}.
  • Definição e fórmula de combinação: \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k objetos distintos entre n sem considerar ordem, e vale
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “n fatorial”) é n\times(n-1)\times\cdots\times1. Exemplo pequeno: \binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\dfrac{5\cdot4}{2}=10.
  • Para probabilidade, usamos a contagem clássica: probabilidade = \dfrac{\text{nº de casos favoráveis}}{\text{nº de casos possíveis}}ºáºí.
  • Aqui a distribuição é a hipergeométrica: contamos maneiras de escolher queimadas e boas dentro das quantidades disponíveis.
  • É mais simples calcular "pelo menos 2" usando o complemento: calcular P(\text{0 queimadas}) e P(\text{1 queimada}) e fazer
P(\text{pelo menos }2)=1-P(0)-P(1).
Isso evita somar vários casos (2,3,4,5) separadamente.

Passo 3

Calculamos o número total de formas de selecionar 6 lâmpadas entre 12:
\text{Total}=\binom{12}{6}.
Agora calculamos numericamente:
\binom{12}{6}=\frac{12!}{6!\,6!}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=924.
Portanto há 924 subconjuntos possíveis igualmente prováveis.

Passo 4

Calculamos P(0), a probabilidade de não sair nenhuma queimada (todas as 6 escolhidas são boas). Há 7 lâmpadas boas no total, então o número de formas de escolher 6 boas é
\binom{7}{6}=7.
Logo
P(0)=\frac{\binom{7}{6}}{\binom{12}{6}}=\frac{7}{924}.

Passo 5

Calculamos P(1), a probabilidade de sair exatamente uma queimada. Para isso escolhemos 1 entre as 5 queimadas e 5 entre as 7 boas:
\text{casos para 1 queimada}=\binom{5}{1}\binom{7}{5}.
Calculando:
\binom{5}{1}=5,\qquad \binom{7}{5}=\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2}=21,
portanto o número de casos é 5\cdot21=105. Assim
P(1)=\frac{105}{924}.

Passo 6

Usamos o complemento para obter P(\text{pelo menos }2):
P(\text{pelo menos }2)=1-P(0)-P(1)=1-\frac{7}{924}-\frac{105}{924}=\frac{924-(7+105)}{924}=\frac{812}{924}.
Agora simplificamos a fração passo a passo:
\frac{812}{924}=\frac{203}{231}\quad(\text{dividindo numerador e denominador por }4),
e ainda
\frac{203}{231}=\frac{29}{33}\quad(\text{dividindo por }7).
Portanto a probabilidade pedida é \dfrac{29}{33}. Em forma decimal aproximada:
\dfrac{29}{33}\approx 0,878787\ldots

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, ao escolher 6 lâmpadas, a chance de ter pelo menos 2 queimadas é bastante alta — cerca de 87,9\%. Mandou bem por estudar por exercícios — você já está no caminho certo!

Resposta

\dfrac{29}{33}\approx 0,878787\ldots

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