Uma caixa contém 12 lâmpadas das quais 5 estão queimadas. São escolhidas 6 lâmpadas ao acaso. Qual a probabilidade de que:
Pelo menos duas estejam queimadas?
Pelo menos duas estejam queimadas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há
lâmpadas no total. - Dessas,
estão queimadas. - São escolhidas
lâmpadas ao acaso, sem reposição (ou seja, uma seleção de entre as ). - Pergunta: qual a probabilidade de que “pelo menos duas” estejam queimadas na amostra de
.
Informações relevantes extraídas: número total
, número de queimadas
, número de boas
(porque
), tamanho da amostra
. O evento que queremos é “ter pelo menos
queimadas” na amostra.
Passo 2
Ideia geral (explicação do método de contagem que vamos usar):
- Quando escolhemos subconjuntos sem ordem (apenas quais lâmpadas foram escolhidas), contamos possibilidades com combinações, denotadas por
. - Definição e fórmula de combinação:
é o número de maneiras de escolher objetos distintos entre sem considerar ordem, e vale
onde
(lê-se “n fatorial”) é
. Exemplo pequeno:
.
- Para probabilidade, usamos a contagem clássica: probabilidade =
. - Aqui a distribuição é a hipergeométrica: contamos maneiras de escolher queimadas e boas dentro das quantidades disponíveis.
- É mais simples calcular "pelo menos
" usando o complemento: calcular e e fazer
Isso evita somar vários casos (2,3,4,5) separadamente.
Passo 3
Calculamos o número total de formas de selecionar
lâmpadas entre
:
Agora calculamos numericamente:
Portanto há
subconjuntos possíveis igualmente prováveis.
Passo 4
Calculamos
, a probabilidade de não sair nenhuma queimada (todas as
escolhidas são boas). Há
lâmpadas boas no total, então o número de formas de escolher
boas é
Logo
Passo 5
Calculamos
, a probabilidade de sair exatamente uma queimada. Para isso escolhemos
entre as
queimadas e
entre as
boas:
Calculando:
portanto o número de casos é
. Assim
Passo 6
Usamos o complemento para obter
:
Agora simplificamos a fração passo a passo:
e ainda
Portanto a probabilidade pedida é
. Em forma decimal aproximada:
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: isso significa que, ao escolher
lâmpadas, a chance de ter pelo menos
queimadas é bastante alta — cerca de
. Mandou bem por estudar por exercícios — você já está no caminho certo!