( \mathbf{6} pontos) Assinale V se a alternativa for completamente verdadeira, ou F se ela for falsa. ( \mathbf{0 , 6} pt cada item).
a) ( ) Dois eventos são ditos serem mutuamente exclusivos se P[A \cap B]=P[A] P[B];
b)( ) O conceito clássico de probabilidade só é aplicável se o espaço amostral for enumerável, finito e equiprovável;
c)( ) Se A e B são dois eventos em S, então P(A \cup B)=P(A)+P(B);
d) ( ) P[B \mid A]=\frac{P[A \cap B]}{P[B]}, P[B]>0;
e)( ) Se P[B \mid A]=P[B] então A e B são eventos independentes;
f)( ) Para que uma função seja uma função de probabilidade deve satisfazer:
i) f\left(x_{i}\right) \geq 0, para todo x_{i} \in \mathbb{R};
ii) \sum_{i=1}^{+\infty} f\left(x_{i}\right)=1.
g)( ) A função de distribuição acumulada, dada por F(x)=P(x \leq X) nos dá a probabilidade acumulada até x;
h)( ) Seja ( X, Y ) uma variável aleatória bidimensional discreta. X e Y são independentes se P\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right)=P\left(X=x_{i}\right) P\left(Y=y_{j}\right), para todos \left(x_{i}, y_{j}\right) \in S.
i) ( ) Seja f(x, y) seja uma função densidade de probabilidade bidimensional, então
P(a \leq X \leq b, c \leq Y \leq d)=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) d x d y
j)( ) Para duas variáveis aleatórias X e Y independentes, temos que, V(X-Y)=V(X)-V(Y).

Passo 1

O enunciado pede para marcar V (verdadeiro) ou F (falso) em cada uma das alternativas (a) a (j). Cada alternativa apresenta uma afirmação sobre probabilidade e variáveis aleatórias; preciso decidir se cada afirmação é correta ou incorreta. As informações relevantes do enunciado são exatamente as 10 afirmações listadas de (a) a (j) — cada uma deve ser avaliada como verdadeira ou falsa.

Passo 2

Vamos começar relembrando definições básicas que usarei várias vezes (a explicação é curta e direta para você poder aplicar na prova):
  • A interseção de dois eventos A e B é A\cap B. O complemento é A^c. A união é A\cup B.
  • A probabilidade condicional de B dado A (quando P(A)>0) é definida por
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
Vou usar essa fórmula diretamente quando precisar decidir sobre afirmações envolvendo P(B\mid A).
  • Dois eventos A e B são independentes se
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Isto é equivalente, quando P(A)>0, a P(B\mid A)=P(B). Guardarei essa equivalência para avaliar itens que envolvem independência.

Passo 3

Item (a): "Dois eventos são ditos serem mutuamente exclusivos se P[A \cap B]=P[A] P[B]".
Explicação didática: mutuamente exclusivos (ou disjuntos) significa que os eventos não ocorrem ao mesmo tempo, isto é,
A\cap B=\varnothing\quad\Rightarrow\quad P(A\cap B)=0.
Já a condição P(A\cap B)=P(A)P(B) é a condição de independência entre A e B. Essas são duas propriedades diferentes. Observação útil para prova: se dois eventos são mutuamente exclusivos e ambos têm probabilidades positivas, então eles não podem ser independentes, porque mutuamente exclusivos dá P(A\cap B)=0 e independência exigiria P(A\cap B)=P(A)P(B)>0. Portanto a afirmação do item (a) está incorreta. Conclusão: (a) é FALSA.

Passo 4

Item (b): “O conceito clássico de probabilidade só é aplicável se o espaço amostral for enumerável, finito e equiprovável.”
Explicação didática: a fórmula clássica de probabilidade é
P(A)=\frac{\text{nº de casos favoráveis}}{\text{nº de casos possíveis}},ºáºí
e ela exige que os elementos do espaço amostral sejam finitos e equiprováveis (por exemplo, faces de um dado justo). O requisito é que o espaço seja finito e equiprovável — não “enumerável” no sentido de contar infinitos; se o espaço for infinito enumerável com todos os pontos equiprováveis não é possível atribuir a mesma probabilidade positiva a cada ponto e ainda somar 1 (isso levaria à soma infinita). Logo a afirmação dizendo “só é aplicável se for enumerável, finito e equiprovável” é imprecisa: o correto é “finito e equiprovável”. Como o item inclui “enumerável” (sugerindo que pode ser infinito enumerável) e mistura condições de forma equivocada, marcamos como falso. Conclusão: (b) é FALSA.

Passo 5

Item (c): “Se A e B são dois eventos em S, então P(A \cup B)=P(A)+P(B).”
Explicação didática: a fórmula correta, para quaisquer eventos, é
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Só no caso em que A e B são mutuamente exclusivos (ou seja, P(A\cap B)=0) temos P(A\cup B)=P(A)+P(B). Como o item afirma isso sem a condição de disjunção, está errado no caso geral. Conclusão: (c) é FALSA.

Passo 6

Item (d): “ P[B \mid A]=\frac{P[A \cap B]}{P[B]},\; P[B]>0.”
Explicação didática: a definição correta de probabilidade condicional é, como já vimos,
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\quad\text{quando }P(A)>0.
O item inverteu A e B no denominador e ainda impôs P[B]>0 em vez de P[A]>0. Portanto a afirmação está errada. Conclusão: (d) é FALSA.

Passo 7

Item (e): “Se P[B \mid A]=P[B] então A e B são eventos independentes.”
Explicação didática: usar a definição de condicional:
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
Se P(A)>0 e P(B\mid A)=P(B), então
\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=P(B)\quad\Rightarrow\quad P(A\cap B)=P(A)P(B),
que é exatamente a condição de independência. Observação prática: a igualdade P(B\mid A)=P(B) só faz sentido quando P(A)>0. Se P(A)=0 a probabilidade condicional não está definida. Mas em termos de ensino/prova, a equivalência é aceita: conhecer que a igualdade das probabilidades condicionais com a marginal é a declaração de independência (quando a condicional está definida). Portanto o item está correto. Conclusão: (e) é VERDADEIRA.

Passo 8

Item (f): “Para que uma função seja uma função de probabilidade deve satisfazer: i) f\left(x_{i}\right) \geq 0, para todo x_{i} \in \mathbb{R}; ii) \sum_{i=1}^{+\infty} f\left(x_{i}\right)=1.”
Explicação didática: isso descreve as condições de uma função massa de probabilidade (pmf) para uma variável aleatória discreta cujo conjunto de valores é enumerável (contável). As duas propriedades essenciais de uma pmf são:
  • não-negatividade: f(x_i)\ge 0 para cada valor possível x_i;
  • soma das probabilidades sobre todos os valores possíveis igual a 1:
\sum_{i} f(x_i)=1.
Observação: se a variável for contínua, usamos densidade e a segunda condição vira integral igual a 1. O enunciado está correto como condições para uma função ser pmf de uma variável discreta. A leve imprecisão de dizer “para todo x_i\in\mathbb{R}” pode ser entendida como “para todo x_i na série de valores possíveis”. Interpretando assim, o item é verdadeiro. Conclusão: (f) é VERDADEIRA.

Passo 9

Item (g): “A função de distribuição acumulada, dada por F(x)=P(x \leq X) nos dá a probabilidade acumulada até x.”
Explicação didática: a função de distribuição acumulada (CDF) é definida por
F(x)=P(X\le x).
Ela representa a probabilidade acumulada até x (inclusive). Note que o item escreveu F(x)=P(x\le X), o que é diferente: P(x\le X)=P(X\ge x) é a função de sobrevivência (complementar), não a CDF. Portanto, do jeito que está escrito no enunciado, a igualdade está incorreta. A parte final "nos dá a probabilidade acumulada até x" é correta se a definição estivesse escrita como P(X\le x). Mas como o enunciado usou a ordem errada, a afirmação é falsa. Conclusão: (g) é FALSA.

Passo 10

Item (h): “Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional discreta. X e Y são independentes se P\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right)=P\left(X=x_{i}\right) P\left(Y=y_{j}\right), para todos \left(x_{i}, y_{j}\right) \in S.”
Explicação didática: esta é exatamente a definição de independência para variáveis aleatórias discretas: a função de massa conjunta factoriza em produto das marginais para todo par de valores possíveis. Não há pegadinha aqui. Conclusão: (h) é VERDADEIRA.

Passo 11

Item (i): "Seja f(x, y) seja uma função densidade de probabilidade bidimensional, então
P(a \leq X \leq b, c \leq Y \leq d)=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y)\, d x\, d y"
Explicação didática: para uma densidade conjunta f(x,y) (variáveis contínuas), a probabilidade de (X,Y) cair no retângulo [a,b]\times[c,d] é de fato a integral dupla do f sobre esse retângulo. A ordem das integrais apresentada é uma notação correta (primeiro integrar em y de c a d, depois em x de a a b; ou vice-versa). Portanto a afirmação está correta. Conclusão: (i) é VERDADEIRA.

Passo 12

Item (j): “Para duas variáveis aleatórias X e Y independentes, temos que, V(X-Y)=V(X)-V(Y).”
Explicação didática: a fórmula geral para a variância de uma diferença é
\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)-2\operatorname{Cov}(X,Y).
Se X e Y são independentes, \operatorname{Cov}(X,Y)=0, então
\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y).
O item dizia que \operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(Y), o que está errado — o sinal do segundo termo está incorreto. Portanto a afirmação é falsa. Conclusão: (j) é FALSA.

Resposta

a) F
b) F
c) F
d) F
e) V
f) V
g) F
h) V
i) V
j) F

Exercícios relacionados