(
pontos) Assinale V se a alternativa for completamente verdadeira, ou F se ela for falsa. (
pt cada item).
a) ( ) Dois eventos são ditos serem mutuamente exclusivos se
;
b)( ) O conceito clássico de probabilidade só é aplicável se o espaço amostral for enumerável, finito e equiprovável;
c)( ) Se
e
são dois eventos em
, então
;
d) ( )
;
e)( ) Se
então
e
são eventos independentes;
f)( ) Para que uma função seja uma função de probabilidade deve satisfazer:
i)
, para todo
;
ii)
.
g)( ) A função de distribuição acumulada, dada por
nos dá a probabilidade acumulada até
;
h)( ) Seja (
) uma variável aleatória bidimensional discreta.
e
são independentes se
, para todos
.
i) ( ) Seja
seja uma função densidade de probabilidade bidimensional, então
j)( ) Para duas variáveis aleatórias
e
independentes, temos que,
.
a) ( ) Dois eventos são ditos serem mutuamente exclusivos se
b)( ) O conceito clássico de probabilidade só é aplicável se o espaço amostral for enumerável, finito e equiprovável;
c)( ) Se
d) ( )
e)( ) Se
f)( ) Para que uma função seja uma função de probabilidade deve satisfazer:
i)
ii)
g)( ) A função de distribuição acumulada, dada por
h)( ) Seja (
i) ( ) Seja
Passo 1
O enunciado pede para marcar V (verdadeiro) ou F (falso) em cada uma das alternativas (a) a (j). Cada alternativa apresenta uma afirmação sobre probabilidade e variáveis aleatórias; preciso decidir se cada afirmação é correta ou incorreta. As informações relevantes do enunciado são exatamente as 10 afirmações listadas de (a) a (j) — cada uma deve ser avaliada como verdadeira ou falsa.
Passo 2
Vamos começar relembrando definições básicas que usarei várias vezes (a explicação é curta e direta para você poder aplicar na prova):
- A interseção de dois eventos
e é . O complemento é . A união é . - A probabilidade condicional de
dado (quando ) é definida por
Vou usar essa fórmula diretamente quando precisar decidir sobre afirmações envolvendo
.
- Dois eventos
e são independentes se
Isto é equivalente, quando
, a
. Guardarei essa equivalência para avaliar itens que envolvem independência.
Passo 3
Item (a): "Dois eventos são ditos serem mutuamente exclusivos se
".
Explicação didática: mutuamente exclusivos (ou disjuntos) significa que os eventos não ocorrem ao mesmo tempo, isto é,
Explicação didática: mutuamente exclusivos (ou disjuntos) significa que os eventos não ocorrem ao mesmo tempo, isto é,
Já a condição
é a condição de independência entre
e
. Essas são duas propriedades diferentes. Observação útil para prova: se dois eventos são mutuamente exclusivos e ambos têm probabilidades positivas, então eles não podem ser independentes, porque mutuamente exclusivos dá
e independência exigiria
. Portanto a afirmação do item (a) está incorreta. Conclusão: (a) é FALSA.
Passo 4
Item (b): “O conceito clássico de probabilidade só é aplicável se o espaço amostral for enumerável, finito e equiprovável.”
Explicação didática: a fórmula clássica de probabilidade é
Explicação didática: a fórmula clássica de probabilidade é
e ela exige que os elementos do espaço amostral sejam finitos e equiprováveis (por exemplo, faces de um dado justo). O requisito é que o espaço seja finito e equiprovável — não “enumerável” no sentido de contar infinitos; se o espaço for infinito enumerável com todos os pontos equiprováveis não é possível atribuir a mesma probabilidade positiva a cada ponto e ainda somar 1 (isso levaria à soma infinita). Logo a afirmação dizendo “só é aplicável se for enumerável, finito e equiprovável” é imprecisa: o correto é “finito e equiprovável”. Como o item inclui “enumerável” (sugerindo que pode ser infinito enumerável) e mistura condições de forma equivocada, marcamos como falso. Conclusão: (b) é FALSA.
Passo 5
Item (c): “Se
e
são dois eventos em
, então
.”
Explicação didática: a fórmula correta, para quaisquer eventos, é
Explicação didática: a fórmula correta, para quaisquer eventos, é
Só no caso em que
e
são mutuamente exclusivos (ou seja,
) temos
. Como o item afirma isso sem a condição de disjunção, está errado no caso geral. Conclusão: (c) é FALSA.
Passo 6
Item (d): “
.”
Explicação didática: a definição correta de probabilidade condicional é, como já vimos,
Explicação didática: a definição correta de probabilidade condicional é, como já vimos,
O item inverteu
e
no denominador e ainda impôs
em vez de
. Portanto a afirmação está errada. Conclusão: (d) é FALSA.
Passo 7
Item (e): “Se
então
e
são eventos independentes.”
Explicação didática: usar a definição de condicional:
Explicação didática: usar a definição de condicional:
Se
e
, então
que é exatamente a condição de independência. Observação prática: a igualdade
só faz sentido quando
. Se
a probabilidade condicional não está definida. Mas em termos de ensino/prova, a equivalência é aceita: conhecer que a igualdade das probabilidades condicionais com a marginal é a declaração de independência (quando a condicional está definida). Portanto o item está correto. Conclusão: (e) é VERDADEIRA.
Passo 8
Item (f): “Para que uma função seja uma função de probabilidade deve satisfazer: i)
, para todo
; ii)
.”
Explicação didática: isso descreve as condições de uma função massa de probabilidade (pmf) para uma variável aleatória discreta cujo conjunto de valores é enumerável (contável). As duas propriedades essenciais de uma pmf são:
Explicação didática: isso descreve as condições de uma função massa de probabilidade (pmf) para uma variável aleatória discreta cujo conjunto de valores é enumerável (contável). As duas propriedades essenciais de uma pmf são:
- não-negatividade:
para cada valor possível ; - soma das probabilidades sobre todos os valores possíveis igual a 1:
Observação: se a variável for contínua, usamos densidade e a segunda condição vira integral igual a 1. O enunciado está correto como condições para uma função ser pmf de uma variável discreta. A leve imprecisão de dizer “para todo
” pode ser entendida como “para todo
na série de valores possíveis”. Interpretando assim, o item é verdadeiro. Conclusão: (f) é VERDADEIRA.
Passo 9
Item (g): “A função de distribuição acumulada, dada por
nos dá a probabilidade acumulada até
.”
Explicação didática: a função de distribuição acumulada (CDF) é definida por
Explicação didática: a função de distribuição acumulada (CDF) é definida por
Ela representa a probabilidade acumulada até
(inclusive). Note que o item escreveu
, o que é diferente:
é a função de sobrevivência (complementar), não a CDF. Portanto, do jeito que está escrito no enunciado, a igualdade está incorreta. A parte final "nos dá a probabilidade acumulada até
" é correta se a definição estivesse escrita como
. Mas como o enunciado usou a ordem errada, a afirmação é falsa. Conclusão: (g) é FALSA.
Passo 10
Item (h): “Seja
uma variável aleatória bidimensional discreta.
e
são independentes se
, para todos
.”
Explicação didática: esta é exatamente a definição de independência para variáveis aleatórias discretas: a função de massa conjunta factoriza em produto das marginais para todo par de valores possíveis. Não há pegadinha aqui. Conclusão: (h) é VERDADEIRA.
Explicação didática: esta é exatamente a definição de independência para variáveis aleatórias discretas: a função de massa conjunta factoriza em produto das marginais para todo par de valores possíveis. Não há pegadinha aqui. Conclusão: (h) é VERDADEIRA.
Passo 11
Item (i): "Seja
seja uma função densidade de probabilidade bidimensional, então
Explicação didática: para uma densidade conjunta
(variáveis contínuas), a probabilidade de
cair no retângulo
é de fato a integral dupla do
sobre esse retângulo. A ordem das integrais apresentada é uma notação correta (primeiro integrar em
de
a
, depois em
de
a
; ou vice-versa). Portanto a afirmação está correta. Conclusão: (i) é VERDADEIRA.
Passo 12
Item (j): “Para duas variáveis aleatórias
e
independentes, temos que,
.”
Explicação didática: a fórmula geral para a variância de uma diferença é
Explicação didática: a fórmula geral para a variância de uma diferença é
Se
e
são independentes,
, então
O item dizia que
, o que está errado — o sinal do segundo termo está incorreto. Portanto a afirmação é falsa. Conclusão: (j) é FALSA.
Resposta
a) F
b) F
c) F
d) F
e) V
f) V
g) F
h) V
i) V
j) F
b) F
c) F
d) F
e) V
f) V
g) F
h) V
i) V
j) F