Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Extrai-se uma bola ao acaso, anota-se a cor, repondo-se em seguida a bola na caixa. Determine a probabilidade de que, de 6 bolas assim escolhidas, 3 sejam vermelhas, 2 brancas e 1 azul.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis.
  • Extrai-se uma bola ao acaso, anota-se a cor e repõe‑se a bola (ou seja, cada extração é com reposição).
  • Faz‑se esse procedimento 6 vezes.
  • O enunciado pede a probabilidade de, nessas 6 extrações, ocorrerem exatamente 3 vermelhas, 2 brancas e 1 azul.

Passo 2

Modelagem probabilística e por que podemos aplicar o raciocínio que vamos usar.
  • Como há reposição, cada extração é independente e as probabilidades de tirar cada cor permanecem iguais em todas as extrações.
  • Definimos as probabilidades por extração: p_{\text{V}}=\Pr(\text{vermelha})=\frac{5}{5+4+3}=\frac{5}{12},
p_{\text{B}}=\Pr(\text{branca})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3},
p_{\text{A}}=\Pr(\text{azul})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.
  • A experiência consiste em 6 tentativas independentes com três resultados possíveis por tentativa. Queremos a probabilidade de obter uma contagem fixa de cada cor (3, 2 e 1). Para esse tipo de problema usamos a ideia do princípio multiplicativo (probabilidade de uma sequência específica é o produto das probabilidades dos resultados nela) e a contagem de quantas sequências diferentes realizam essas contagens (combinações/permutação com repetição).

Passo 3

Contagem das sequências que atendem à condição (por que aparece o coeficiente combinatório).
  • Pense nas 6 posições (extrações) em sequência. Para que haja exatamente 3 vermelhas, 2 brancas e 1 azul escolhemos quais posições são vermelhas, quais são brancas e qual é azul.
  • Primeiro escolhemos as 3 posições das vermelhas: \binom{6}{3} maneiras.
  • Das 3 posições restantes escolhemos 2 para brancas: \binom{3}{2} maneiras.
  • A posição restante será azul: \binom{1}{1}=1.
  • Multiplicando: \binom{6}{3}\binom{3}{2}=\frac{6!}{3!3!}\cdot\frac{3!}{2!1!}=\frac{6!}{3!2!1!}.
  • Esse número é o coeficiente multinomial \dfrac{6!}{3!2!1!}, que conta todas as sequências distintas com as contagens pedidas.

Passo 4

Probabilidade de uma sequência específica e construção da probabilidade total.
  • Se fixarmos uma sequência com exatamente 3 vermelhas, 2 brancas e 1 azul em posições determinadas, a probabilidade dessa sequência ocorrer é p_{\text{V}}^{3}\,p_{\text{B}}^{2}\,p_{\text{A}}^{1},pois as extrações são independentes.
  • Como existem \dfrac{6!}{3!2!1!} sequências distintas com essas contagens, a probabilidade total é \Pr(3\\ \text{V},2\\ \text{B},1\\ \text{A})=\frac{6!}{3!2!1!}\,p_{\text{V}}^{3}\,p_{\text{B}}^{2}\,p_{\text{A}}.

Passo 5

Substituindo os valores de p_{\text{V}},p_{\text{B}},p_{\text{A}} e calculando o coeficiente.
  • Coeficiente: \frac{6!}{3!2!1!}=\frac{720}{6\cdot2\cdot1}=60.
  • Potências das probabilidades: p_{\text{V}}^{3}=\left(\frac{5}{12}\right)^{3},\qquad p_{\text{B}}^{2}=\left(\frac{4}{12}\right)^{2},\qquad p_{\text{A}}=\frac{3}{12}.
  • Portanto \Pr(3,2,1)=60\left(\frac{5}{12}\right)^{3}\left(\frac{4}{12}\right)^{2}\left(\frac{3}{12}\right).

Passo 6

Simplificação numérica da expressão.
  • Calcule as potências e monte numerador/denominador: \left(\frac{5}{12}\right)^{3}\left(\frac{4}{12}\right)^{2}\left(\frac{3}{12}\right) =\frac{5^{3}\cdot4^{2}\cdot3}{12^{6}}=\frac{125\cdot16\cdot3}{12^{6}}=\frac{6000}{12^{6}}.
  • Multiplicando pelo coeficiente 60: 60\cdot\frac{6000}{12^{6}}=\frac{360000}{12^{6}}.
  • Como 12^{6}=2985984, temos inicialmente \Pr(3,2,1)=\frac{360000}{2985984}.

Passo 7

Redução da fração e aproximação decimal.
  • Vamos simplificar a fração: dividindo numerador e denominador por 576 (ou em passos: por 24, depois por 8 e por 3) obtém‑se \frac{360000}{2985984}=\frac{625}{5184}.
  • Valor decimal aproximado (arredondando para 4 casas decimais): \frac{625}{5184}\approx0,1206.

Resposta

\dfrac{625}{5184}\approx0,1206

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