Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Extrai-se uma bola ao acaso, anota-se a cor, repondo-se em seguida a bola na caixa. Determine a probabilidade de que, de 6 bolas assim escolhidas, 3 sejam vermelhas, 2 brancas e 1 azul.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A caixa contém
bolas vermelhas, brancas e azuis. - Extrai-se uma bola ao acaso, anota-se a cor e repõe‑se a bola (ou seja, cada extração é com reposição).
- Faz‑se esse procedimento
vezes. - O enunciado pede a probabilidade de, nessas
extrações, ocorrerem exatamente vermelhas, brancas e azul.
Passo 2
Modelagem probabilística e por que podemos aplicar o raciocínio que vamos usar.
- Como há reposição, cada extração é independente e as probabilidades de tirar cada cor permanecem iguais em todas as extrações.
- Definimos as probabilidades por extração:
- A experiência consiste em
tentativas independentes com três resultados possíveis por tentativa. Queremos a probabilidade de obter uma contagem fixa de cada cor (3, 2 e 1). Para esse tipo de problema usamos a ideia do princípio multiplicativo (probabilidade de uma sequência específica é o produto das probabilidades dos resultados nela) e a contagem de quantas sequências diferentes realizam essas contagens (combinações/permutação com repetição).
Passo 3
Contagem das sequências que atendem à condição (por que aparece o coeficiente combinatório).
- Pense nas
posições (extrações) em sequência. Para que haja exatamente vermelhas, brancas e azul escolhemos quais posições são vermelhas, quais são brancas e qual é azul. - Primeiro escolhemos as
posições das vermelhas: maneiras. - Das
posições restantes escolhemos para brancas: maneiras. - A posição restante será azul:
. - Multiplicando:
- Esse número é o coeficiente multinomial
, que conta todas as sequências distintas com as contagens pedidas.
Passo 4
Probabilidade de uma sequência específica e construção da probabilidade total.
- Se fixarmos uma sequência com exatamente
vermelhas, brancas e azul em posições determinadas, a probabilidade dessa sequência ocorrer é pois as extrações são independentes. - Como existem
sequências distintas com essas contagens, a probabilidade total é
Passo 5
Substituindo os valores de
e calculando o coeficiente.
- Coeficiente:
- Potências das probabilidades:
- Portanto
Passo 6
Simplificação numérica da expressão.
- Calcule as potências e monte numerador/denominador:
- Multiplicando pelo coeficiente
: - Como
, temos inicialmente
Passo 7
Redução da fração e aproximação decimal.
- Vamos simplificar a fração: dividindo numerador e denominador por
(ou em passos: por , depois por e por ) obtém‑se - Valor decimal aproximado (arredondando para 4 casas decimais):