Uma caixa contém 8 bombons, dos quais 5 são feitos com chocolate meio amargo e 3 são feitos com chocolate branco. Se uma criança pegar dois bombons da caixa, aleatoriamente. Determine a f.d.a. F(x) da v.a. X e faça seu gráfico. Sendo: X: número de bombons feitos com chocolate branco

Passo 1

Beleza, o problema diz o seguinte: temos uma caixa com 8 bombons, sendo 5 de chocolate meio amargo e 3 de chocolate branco. Uma criança pega 2 bombons sem olhar. A variável aleatória é o número de bombons brancos que ela pega (pode ser 0, 1 ou 2).
Conteúdo: probabilidade discreta (hipergeométrica) e função de distribuição acumulada (f.d.a.). Vamos usar combinatória (coeficientes binomiais) pra calcular as probabilidades de e daí montar .

Passo 2

Teoria rápida: quando você tira amostras sem reposição de uma população finita, e quer a probabilidade de “sucesso” (aqui, bombom branco), usa a distribuição hipergeométrica.
  • Número total de jeitos de escolher 2 bombons de 8:
    P(X=k)=binom3k,binom52-kbinom82, k=0,1,2 .
  • Número de jeitos de obter exatamente brancos:
    .
    Então

Passo 3

Calcular P(X=0) = binom30,binom52binom82 = 1cdot 1028 = 1028 = 514 : zero brancos significa dois amargos, então

Passo 4

Calcular P(X=1) = binom31,binom51binom82 = 3cdot 528 = 1528 : um branco e um amargo, então

Passo 5

Calcular P(X=2) = binom32,binom50binom82 = 3cdot 128 = 328 : dois brancos, então

Passo 6

Agora a f.d.a. . Como só pode ser 0,1,2:
  • Para : .
  • Para : .
  • Para :
  • Para : .

Passo 7

Gráfico de é um “degrau” em 0,1 e 2:
  • Em pula de 0 para .
  • Em pula de para .
  • Em pula de para 1.

Resposta

F(x)= 0, & x<0,[6pt] dfrac514, & 0<= x<1,[6pt] dfrac2528, & 1<= x<2,[6pt] 1, & x>=2

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