A Mega-Sena é o jogo de loteria mais popular do Brasil. O objetivo é acertar seis números escolhidos em um bilhete dentre um total de 60 disponíveis (1 a 60). Entretanto, para pessoas que acertam a quina (acerto de 5 números) e a quadra (acerto de quatro números) também são premiadas, e os prêmios são menores. Além disso, é possível jogar mais do que 6 dezenas ( 7,8,9,10,11,12,13,14 e 15) pagando um valor maior (R$ 24,50 no caso da aposta de 7 números).
Quatro amigos: Marcos, Mariana, Ricardo e Roberta, estão interessados em apostar na Mega-Sena e começaram a discutir suas chances de ganhar.
Marcos quer apostar seis números consecutivos (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Mariana disse para Marcos que se ele apostar números consecutivos tem menor chance do que ela de ganhar se ela apostar seis números não consecutivos (20,31,34,50,51,59).
Ricardo vai gastar um valor maior e fazer uma aposta com 7 números. Ele disse que vale a pena gastar mais, já que sua chance em relação a Marcos e Mariana é maior
Roberta vai fazer um jogo de 6 dezenas, mas não tem interesse em ganhar a Sena e está satisfeito em ganhar o prêmio da quina. Roberta comentou que ganhando o prêmio da quina, realizaria uma festa para os amigos.
Calcule todas as probabilidades dos amigos ganharem e comente as afirmações.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é calcular probabilidades na Mega-Sena (um clássico de combinatória): cada aposta de 6 números dentre 60 tem chance de ganhar a Sena de
P = 1binom606,
Vamos usar combinação e a lógica de “escolher acertos” e “escolher os demais” pra quina. Precisamos só das fórmulas de combinação e da contagem total .

Passo 2

Primeiro a probabilidade de você cravar os 6 números (Sena) com uma aposta de exatamente 6 dezenas é sempre
P6 dezenas ;=; 1binom606,
Aqui não importa se você escolhe 1,2,3,4,5,6 ou 20,31,34,50,51,59 — toda sequência de 6 tem a mesma chance.

Passo 3

Logo, tanto o Marcos (números consecutivos) quanto a Mariana (números “espalhados”) têm a mesma probabilidade de fazer a Sena:
PMarcos = PMariana = 1binom606,
A afirmação de que números consecutivos diminuem a chance está errada: é igualzinha!

Passo 4

O Ricardo joga 7 dezenas. Na prática ele está fazendo PRicardo Sena = binom76binom606 = 7binom606,, combinações diferentes de 6 números, cada uma com probabilidade . Então
que é 7 vezes a chance de uma aposta simples de 6 dezenas. A afirmação dele de que “vale a pena” porque a chance é maior está correta — mas ainda é um número muito pequeno!

Passo 5

A Roberta quer só a quina (5 acertos) com aposta de 6 números. Para isso:
  • Escolhe 5 dos 6 sorteados: Pquina = binom65,binom541binom606 = 6 times 54binom606, .
  • O 6º número sorteado fica entre os 54 que ela não escolheu: .
    Assim

Resposta

– P(Marcos ganha a Sena) = P(Mariana ganha a Sena) = .
– P(Ricardo ganha a Sena) = .
– P(Roberta faz quina) = .
Comentários finais:
  1. Marcos e Mariana têm exatamente a mesma probabilidade.
  2. Ricardo de fato aumenta a chance em 7 vezes ao jogar 7 dezenas.
  3. Roberta, na quina, ainda enfrenta uma probabilidade de , muito pequena mas bem maior que a da Sena.

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