Uma caixa contém 8 bombons, dos quais 5 são feitos com chocolate meio amargo e 3 são feitos com chocolate branco. Se uma criança pegar dois bombons da caixa, aleatoriamente. Calcule E(X) e VAR(X). Sendo: X: número de bombons feitos com chocolate branco

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que precisamos:
Temos uma caixinha com 8 bombons, sendo 5 de chocolate meio amargo e 3 de chocolate branco. A criança vai tirar 2 bombons sem olhar. Definimos X = número de bombons brancos que ela pega. Queremos calcular a esperança E(X) e a variância Var(X).
Conteúdo envolvido: distribuição hipergeométrica. Vamos usar as fórmulas padrões de esperança e variância para essa distribuição.

Passo 2

O modelo hipergeométrico descreve a probabilidade de tirar, sem reposição, um certo número de “sucessos” (aqui, bombons brancos) de uma população finita.
Parâmetros:
N=8 (tamanho da população)
K=3 (número de sucessos na população – bombons brancos)
n=2 (número de retiradas)
Então XsimHyper>=ometric(N=8,K=3,n=2).

Passo 3

Fórmula da esperança na hipergeométrica:
E(X)=ncdotKN
Substituindo:
E(X)=2cdot38=68=34
Ou seja, em média a criança tira 0,75 bombom branco.

Passo 4

Agora a variância. A fórmula é:
Var(X) = n;KN;l(1-KNr);N-nN-1
Vamos substituir passo a passo:
  1. dfracKN=dfrac38, então 1-dfracKN=dfrac58.
  2. N-n=8-2=6, N-1=7.
    Logo
Var(X) =2cdot38cdot58cdot67 =2cdot3cdot5cdot68cdot8cdot7 =180448 =45112

Resposta

E(X)=tfrac34, Var(X)=tfrac45112approx0,402

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