Uma caixa contém 4 canetas azuis e 6 pretas. Retira-se uma caneta ao acaso e, em seguida, sem reposição, retira-se uma segunda caneta. Qual a probabilidade de ambas as canetas retiradas serem pretas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
  • Informações dadas:
    • 4 canetas azuis e 6 canetas pretas numa caixa.
    • Retira-se uma caneta ao acaso e, sem reposição, retira-se uma segunda caneta.
  • O que é pedido:
    • A probabilidade de que ambas as canetas retiradas sejam pretas.

Passo 2

Vamos definir eventos úteis (isso ajuda a organizar o raciocínio).
  • Seja A o evento “a primeira caneta é preta”.
  • Seja B o evento “a segunda caneta é preta”.
O que queremos é a probabilidade de ocorrerem ambos os eventos, isto é \Pr(A\cap B).

Passo 3

Apresento uma fórmula-chave que vamos usar (e explico o que significa): a regra do produto para eventos dependentes.
  • A regra diz que
\Pr(A\cap B)=\Pr(A)\cdot\Pr(B\mid A).
  • Aqui \Pr(A) é a probabilidade do evento A ocorrer (primeira retirada preta).
  • \Pr(B\mid A) é a probabilidade de B ocorrer dado que A já ocorreu (probabilidade da segunda ser preta sabendo que a primeira foi preta).
  • Intuição: multiplicamos a chance de acontecer o primeiro evento pela chance de acontecer o segundo, depois de já sabermos que o primeiro aconteceu.

Passo 4

Calcule \Pr(A), a probabilidade de a primeira caneta ser preta.
  • Total de canetas inicialmente: 4+6=10.
  • Canetas pretas inicialmente: 6.
  • Portanto
\Pr(A)=\frac{6}{10}.
  • Isso significa: ao escolher uma caneta aleatoriamente entre as 10, 6 são pretas.

Passo 5

Calcule \Pr(B\mid A), a probabilidade de a segunda ser preta dado que a primeira foi preta.
  • Como não há reposição, se a primeira foi preta, restam 6-1=5 canetas pretas.
  • E o total de canetas restantes é 10-1=9.
  • Portanto
\Pr(B\mid A)=\frac{5}{9}.
  • Intuição: depois de tirar uma preta, a proporção de pretas entre as restantes passou a ser 5 em 9.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto e fazemos as contas passo a passo.
  • Usando \Pr(A\cap B)=\Pr(A)\cdot\Pr(B\mid A) temos
\Pr(A\cap B)=\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}.
  • Multiplicando numerador e denominador:
\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{6\cdot 5}{10\cdot 9}=\frac{30}{90}.
  • Simplificando a fração dividindo por 30:
\frac{30}{90}=\frac{1}{3}.

Passo 7

Para consolidar, mostro uma solução alternativa usando contagem (combinações), que dá o mesmo resultado e é útil para ver o problema por outro ângulo.
  • Número de maneiras de escolher 2 canetas pretas entre as 6: \binom{6}{2}.
  • Número de maneiras de escolher 2 canetas quaisquer entre as 10: \binom{10}{2}.
  • A probabilidade é
\frac{\binom{6}{2}}{\binom{10}{2}}.
  • Calculando \binom{6}{2}=\dfrac{6!}{2!4!}=15 e \binom{10}{2}=\dfrac{10!}{2!8!}=45.
  • Logo
\frac{15}{45}=\frac{1}{3},
que coincide com o resultado obtido antes.

Passo 8

Resumo final e palavra de incentivo rápido: as duas abordagens (probabilidades condicionais e contagem) dão o mesmo resultado \dfrac{1}{3}. Você conseguiu — é um problema clássico e a técnica de \Pr(A)\Pr(B\mid A) resolve muitos exercícios similares.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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