Uma caixa contém 4 canetas azuis e 6 pretas. Retira-se uma caneta ao acaso e, em seguida, sem reposição, retira-se uma segunda caneta. Qual a probabilidade de ambas as canetas retiradas serem pretas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
- Informações dadas:
- Há
canetas azuis e canetas pretas numa caixa. - Retira-se uma caneta ao acaso e, sem reposição, retira-se uma segunda caneta.
- Há
- O que é pedido:
- A probabilidade de que ambas as canetas retiradas sejam pretas.
Passo 2
Vamos definir eventos úteis (isso ajuda a organizar o raciocínio).
- Seja
o evento “a primeira caneta é preta”. - Seja
o evento “a segunda caneta é preta”.
O que queremos é a probabilidade de ocorrerem ambos os eventos, isto é
.
Passo 3
Apresento uma fórmula-chave que vamos usar (e explico o que significa): a regra do produto para eventos dependentes.
- A regra diz que
- Aqui
é a probabilidade do evento ocorrer (primeira retirada preta). -
é a probabilidade de ocorrer dado que já ocorreu (probabilidade da segunda ser preta sabendo que a primeira foi preta). - Intuição: multiplicamos a chance de acontecer o primeiro evento pela chance de acontecer o segundo, depois de já sabermos que o primeiro aconteceu.
Passo 4
Calcule
, a probabilidade de a primeira caneta ser preta.
- Total de canetas inicialmente:
. - Canetas pretas inicialmente:
. - Portanto
- Isso significa: ao escolher uma caneta aleatoriamente entre as
, são pretas.
Passo 5
Calcule
, a probabilidade de a segunda ser preta dado que a primeira foi preta.
- Como não há reposição, se a primeira foi preta, restam
canetas pretas. - E o total de canetas restantes é
. - Portanto
- Intuição: depois de tirar uma preta, a proporção de pretas entre as restantes passou a ser
em .
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto e fazemos as contas passo a passo.
- Usando
temos
- Multiplicando numerador e denominador:
- Simplificando a fração dividindo por
:
Passo 7
Para consolidar, mostro uma solução alternativa usando contagem (combinações), que dá o mesmo resultado e é útil para ver o problema por outro ângulo.
- Número de maneiras de escolher 2 canetas pretas entre as
: . - Número de maneiras de escolher 2 canetas quaisquer entre as
: . - A probabilidade é
- Calculando
e . - Logo
que coincide com o resultado obtido antes.
Passo 8
Resumo final e palavra de incentivo rápido: as duas abordagens (probabilidades condicionais e contagem) dão o mesmo resultado
. Você conseguiu — é um problema clássico e a técnica de
resolve muitos exercícios similares.