Uma caixa contém m bolas brancas e n vermelhas. Dois jogadores se alternam em retirar, ao acaso, uma bola da caixa. As retiradas são com reposição e vence quem retirar a primeira bola branca. Mostre que quem inicia o jogo tem vantagem.

Passo 1

O enunciado diz que há uma caixa com m bolas brancas e n vermelhas, e dois jogadores A e B retiram alternadamente uma bola com reposição, vencendo quem tirar a primeira bola branca. O conteúdo usado aqui é probabilidade geométrica e séries infinitas.

Passo 2

Vamos chamar
p = mm+n
à probabilidade de tirar branca em um sorteio, e
q = nm+n
à probabilidade de tirar vermelha. Note que p+q=1.

Passo 3

Para que A ganhe, podem ocorrer zero rodadas completas de falha (cada rodada é A depois B), ou uma, duas, etc. A probabilidade de A ganhar exatamente na sua jogada da vez k (ou seja, no sorteio número 2k+1) é
q^2k,p,
porque nos primeiros 2k sorteios saíram vermelhas e no seguinte sai branca. Logo
P(A vence) =sumk=0^inftyq^2kp

Passo 4

Essa soma é uma série geométrica de razão q^2. Usando
sumk=0^inftyq^2k =11-q^2,
temos
P(A vence) =p1-q^2 =p(1-q)(1+q)
Como 1-q=p, isso simplifica para
P(A vence) =11+q

Passo 5

Voltando a m e n,
q=nm+n Longrightarrow P(A vence) =11+tfracnm+n =m+nm+2n
Como m>0, fica
P(A vence)=m+nm+2n>tfrac12,
ou seja, quem começa (A) tem sempre vantagem.

Resposta

P(quem inicia vence) =m+nm+2n>12,
logo o primeiro jogador tem vantagem.

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