Uma caixa contém
bolas brancas e
vermelhas. Dois jogadores se alternam em retirar, ao acaso, uma bola da caixa. As retiradas são com reposição e vence quem retirar a primeira bola branca. Mostre que quem inicia o jogo tem vantagem.
Passo 1
O enunciado diz que há uma caixa com
bolas brancas e
vermelhas, e dois jogadores A e B retiram alternadamente uma bola com reposição, vencendo quem tirar a primeira bola branca. O conteúdo usado aqui é probabilidade geométrica e séries infinitas.
Passo 2
Vamos chamar
à probabilidade de tirar branca em um sorteio, e
à probabilidade de tirar vermelha. Note que
.
Passo 3
Para que A ganhe, podem ocorrer zero rodadas completas de falha (cada rodada é A depois B), ou uma, duas, etc. A probabilidade de A ganhar exatamente na sua jogada da vez
(ou seja, no sorteio número
) é
porque nos primeiros
sorteios saíram vermelhas e no seguinte sai branca. Logo
Passo 4
Essa soma é uma série geométrica de razão
. Usando
temos
Como
, isso simplifica para
Passo 5
Voltando a
e
,
Como
, fica
ou seja, quem começa (A) tem sempre vantagem.
Resposta
logo o primeiro jogador tem vantagem.