Num lote de m+n peças existem m defeituosas. Uma amostra sem reposição de r peças, r<m+n é sorteada. Obtenha a probabilidade de encontrarmos k peças defeituosas, k <= min (r, m).

Passo 1

Resumindo: temos um lote com m+n peças, das quais m são defeituosas e n=(m+n)-m são não defeituosas. Sorteamos sem reposição r peças ( r<m+n) e queremos a probabilidade de exatamente k defeituosas, com 0<= k<=min(r,m). Este é um caso clássico da distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Calcular o número total de maneiras de escolher qualquer amostra de r peças dentre as m+n. Pela combinatória, esse total é
binomm+nr

Passo 3

Contar de quantas maneiras podemos obter exatamente k peças defeituosas e r-k peças não defeituosas. Primeiro escolhemos k das m defeituosas, depois escolhemos r-k das n não defeituosas. O número de escolhas favoráveis é
binommk,binomnr-k

Passo 4

Pela definição de probabilidade em espaço equiprovável, dividimos o número de casos favoráveis pelo total de casos possíveis. Logo, a probabilidade pedida é
P(exatamente k)=binommk,binomnr-kbinomm+nr

Resposta

P(X=k)=binommk,binomnr-kbinomm+nrpara 0<= k<=min(r,m)

Exercícios relacionados