São escritas cartas a destinatários diferentes e há envelopes com os respectivos endereços. Porém, as cartas são colocadas ao acaso em cada um desses envelopes.
a) Qual é a probabilidade da -ésima carta chegar ao destino correto?
b) Qual é a probabilidade de pelo menos uma carta chegar ao destino correto?
c) O que ocorre com a probabilidade em (b) se ?
Passo 1
O enunciado descreve uma distribuição uniforme sobre todas as permutações de cartas em envelopes endereçados. Em cada parte vamos traduzir o evento de interesse em propriedades de permutações e usar contagem de permutações ou inclusão-exclusão. Precisamos saber que o número total de permutações é , que a probabilidade de um ponto fixo específico é calculada por contagem direta e que o número de permutações sem ponto fixo (derangement) é dado por uma soma alternada.
Passo 2
Para (a) o evento “a -ésima carta cai no envelope certo” equivale a exigir que a permutação satisfaça . Dentre as permutações, fixando restam formas de permutar os outros. Logo
Passo 3
Para (b) queremos . É mais fácil calcular o complementar, isto é, nenhuma carta no lugar certo. O número de permutações sem ponto fixo (derangements) é
Então
e
Passo 4
Para (c) usamos o fato de que a série da exponencial converge:
Logo
P(pelo menos uma certa) ;xrightarrow[ntoinfty]; 1-e^-1