São escritas cartas a n destinatários diferentes e há n envelopes com os respectivos endereços. Porém, as cartas são colocadas ao acaso em cada um desses envelopes.
a) Qual é a probabilidade da k-ésima carta chegar ao destino correto?
b) Qual é a probabilidade de pelo menos uma carta chegar ao destino correto?
c) O que ocorre com a probabilidade em (b) se n infty ?

Passo 1

O enunciado descreve uma distribuição uniforme sobre todas as permutações de n cartas em n envelopes endereçados. Em cada parte vamos traduzir o evento de interesse em propriedades de permutações e usar contagem de permutações ou inclusão-exclusão. Precisamos saber que o número total de permutações é n!, que a probabilidade de um ponto fixo específico é calculada por contagem direta e que o número de permutações sem ponto fixo (derangement) é dado por uma soma alternada.

Passo 2

Para (a) o evento “a k-ésima carta cai no envelope certo” equivale a exigir que a permutação pi satisfaça pi(k)=k. Dentre as n! permutações, fixando pi(k)=k restam (n-1)! formas de permutar os outros. Logo
P(pi(k)=k) =(n-1)!n! =1n

Passo 3

Para (b) queremos P(pelo menos uma carta no lugar certo). É mais fácil calcular o complementar, isto é, nenhuma carta no lugar certo. O número de permutações sem ponto fixo (derangements) é
Dn = n!,sumi=0^n(-1)^ii!
Então
P(nenhuma carta certa) =Dnn! =sumi=0^n(-1)^ii!,
e
P(pelo menos uma certa) =1-sumi=0^n(-1)^ii!

Passo 4

Para (c) usamos o fato de que a série da exponencial converge:
sumi=0^n(-1)^ii!;xrightarrow[ntoinfty];e^-1
Logo
P(pelo menos uma certa) ;xrightarrow[ntoinfty]; 1-e^-1

Resposta

(a) 1n
(b) 1-sumi=0^n(-1)^ii!
(c) tende a 1-e^-1.

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