Uma caixa contém uma moeda não viciada e uma de duas caras. Uma moeda é selecionada aleatoriamente e lançada. Se ocorre cara, a outra moeda é lançada; se ocorre coroa a mesma moeda é lançada.
b) Se ocorreu cara no segundo lançamento, encontre a probabilidade de ter ocorrido também no primeiro.
b) Se ocorreu cara no segundo lançamento, encontre a probabilidade de ter ocorrido também no primeiro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas moedas numa caixa: uma normal (com cara e coroa) e outra que tem duas caras. A gente vai escolher uma moeda aleatoriamente e lançar. Se sair cara no primeiro lançamento, a gente pega a outra moeda e lança de novo; se sair coroa, a mesma moeda é lançada novamente. A pergunta é: se no segundo lançamento saiu cara, qual a probabilidade de também ter saído cara no primeiro lançamento? Vamos usar probabilidade condicional pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as moedas:
- Moeda Normal (M1): Tem uma cara e uma coroa.
- Moeda de Duas Caras (M2): Só tem caras.
Como a escolha da moeda é aleatória, a probabilidade de escolher cada uma é de
.
Passo 3
Vamos analisar as possíveis sequências de lançamentos que resultam em cara no segundo lançamento.
Existem dois cenários possíveis:
-
Escolher M1 no primeiro lançamento:
- Primeiro lançamento (M1):
- Probabilidade de sair cara:
- Probabilidade de sair coroa:
- Probabilidade de sair cara:
- Se sair cara, escolhe M2 para o segundo lançamento:
- Segundo lançamento (M2): Sempre sai cara (probabilidade 1)
- Se sair coroa, lança M1 novamente:
- Segundo lançamento (M1): Probabilidade de sair cara:
- Segundo lançamento (M1): Probabilidade de sair cara:
- Primeiro lançamento (M1):
-
Escolher M2 no primeiro lançamento:
- Primeiro lançamento (M2): Sempre sai cara (probabilidade 1)
- Como saiu cara, escolhe M1 para o segundo lançamento:
- Segundo lançamento (M1): Probabilidade de sair cara:
- Segundo lançamento (M1): Probabilidade de sair cara:
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada sequência que resulta em cara no segundo lançamento:
-
Escolher M1 e sair cara no primeiro lançamento:
- Probabilidade:
- Segundo lançamento (M2): Sempre cara, então contribuição para cara no segundo lançamento:
- Probabilidade:
-
Escolher M1 e sair coroa no primeiro lançamento:
- Probabilidade:
- Segundo lançamento (M1): Cara com probabilidade
, então contribuição:
- Probabilidade:
-
Escolher M2 no primeiro lançamento:
- Probabilidade:
- Sempre sai cara no primeiro lançamento.
- Segundo lançamento (M1): Cara com probabilidade
, então contribuição:
- Probabilidade:
Passo 5
Agora, somamos todas as contribuições que resultaram em cara no segundo lançamento:
Isso significa que a probabilidade total de sair cara no segundo lançamento é
.
Passo 6
Agora, queremos saber qual a probabilidade de ter saído cara no primeiro lançamento dado que saiu cara no segundo. Isso é a probabilidade condicional
.
Das sequências que consideramos:
- M1 \rightarrow M2: Primeiro saiu cara. Contribuição para cara no segundo:
- M2 \rightarrow M1: Primeiro saiu cara. Contribuição para cara no segundo:
Total de contribuições onde o primeiro lançamento foi cara e o segundo também:
Resposta
Então, a probabilidade de ter ocorrido cara no primeiro lançamento, dado que saiu cara no segundo, é:
Ou seja, a probabilidade é de
.