Uma caixa contém uma moeda não viciada e uma de duas caras. Uma moeda é selecionada aleatoriamente e lançada. Se ocorre cara, a outra moeda é lançada; se ocorre coroa a mesma moeda é lançada.
b) Se ocorreu cara no segundo lançamento, encontre a probabilidade de ter ocorrido também no primeiro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas moedas numa caixa: uma normal (com cara e coroa) e outra que tem duas caras. A gente vai escolher uma moeda aleatoriamente e lançar. Se sair cara no primeiro lançamento, a gente pega a outra moeda e lança de novo; se sair coroa, a mesma moeda é lançada novamente. A pergunta é: se no segundo lançamento saiu cara, qual a probabilidade de também ter saído cara no primeiro lançamento? Vamos usar probabilidade condicional pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as moedas:
  1. Moeda Normal (M1): Tem uma cara e uma coroa.
  2. Moeda de Duas Caras (M2): Só tem caras.
Como a escolha da moeda é aleatória, a probabilidade de escolher cada uma é de 12.

Passo 3

Vamos analisar as possíveis sequências de lançamentos que resultam em cara no segundo lançamento.
Existem dois cenários possíveis:
  1. Escolher M1 no primeiro lançamento:
    • Primeiro lançamento (M1):
      • Probabilidade de sair cara: 12
      • Probabilidade de sair coroa: 12
    • Se sair cara, escolhe M2 para o segundo lançamento:
      • Segundo lançamento (M2): Sempre sai cara (probabilidade 1)
    • Se sair coroa, lança M1 novamente:
      • Segundo lançamento (M1): Probabilidade de sair cara: 12
  2. Escolher M2 no primeiro lançamento:
    • Primeiro lançamento (M2): Sempre sai cara (probabilidade 1)
    • Como saiu cara, escolhe M1 para o segundo lançamento:
      • Segundo lançamento (M1): Probabilidade de sair cara: 12

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada sequência que resulta em cara no segundo lançamento:
  1. Escolher M1 e sair cara no primeiro lançamento:
    • Probabilidade: 12 times 12 = 14
    • Segundo lançamento (M2): Sempre cara, então contribuição para cara no segundo lançamento: 14 times 1 = 14
  2. Escolher M1 e sair coroa no primeiro lançamento:
    • Probabilidade: 12 times 12 = 14
    • Segundo lançamento (M1): Cara com probabilidade 12, então contribuição: 14 times 12 = 18
  3. Escolher M2 no primeiro lançamento:
    • Probabilidade: 12
    • Sempre sai cara no primeiro lançamento.
    • Segundo lançamento (M1): Cara com probabilidade 12, então contribuição: 12 times 12 = 14

Passo 5

Agora, somamos todas as contribuições que resultaram em cara no segundo lançamento:
14 (M1 M2) + 18 (M1 M1) + 14 (M2 M1) = 14 + 18 + 14 = 58
Isso significa que a probabilidade total de sair cara no segundo lançamento é 58.

Passo 6

Agora, queremos saber qual a probabilidade de ter saído cara no primeiro lançamento dado que saiu cara no segundo. Isso é a probabilidade condicional P(Primeiro = cara mid Segundo = cara).
Das sequências que consideramos:
  • M1 \rightarrow M2: Primeiro saiu cara. Contribuição para cara no segundo: 14
  • M2 \rightarrow M1: Primeiro saiu cara. Contribuição para cara no segundo: 14
Total de contribuições onde o primeiro lançamento foi cara e o segundo também: 14 + 14 = 12

Resposta

Então, a probabilidade de ter ocorrido cara no primeiro lançamento, dado que saiu cara no segundo, é:
P(Primeiro = cara mid Segundo = cara) = 1258 = 45
Ou seja, a probabilidade é de 45.

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