Suponha que 2 cartas sejam retiradas, uma após a outra, sem reposição, de um baralho completo ( 52 cartas). Seja X o número de valetes obtido e Y o número de damas.
a) Encontre a distribuição de probabilidade conjunta de (X,Y);
a) Encontre a distribuição de probabilidade conjunta de (X,Y);
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem um baralho completo com 52 cartas e vai tirar 2 cartas, uma depois da outra, sem colocar a primeira de volta. A variável X representa o número de valetes (jacks) que a gente pode tirar e Y representa o número de damas (queens). Nosso objetivo aqui é encontrar a distribuição de probabilidade conjunta de (X, Y), ou seja, as probabilidades para todas as combinações possíveis de X e Y.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de probabilidade combinatória, como o número de combinações possíveis e como calcular a probabilidade de eventos conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as combinações possíveis de valores que X e Y podem assumir. Como estamos tirando 2 cartas, tanto X quanto Y podem ser 0, 1 ou 2, mas não podemos ter mais de 2 cartas no total. Então, as combinações possíveis são:
- (X=0, Y=0)
- (X=0, Y=1)
- (X=0, Y=2)
- (X=1, Y=0)
- (X=1, Y=1)
- (X=2, Y=0)
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade para cada uma dessas combinações. Para isso, vamos usar a fórmula da probabilidade combinatória, que é:
Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de tirar 2 cartas de um baralho de 52:
Então, temos 1326 combinações possíveis de 2 cartas.
Passo 4
Vamos agora calcular as probabilidades para cada combinação de (X, Y):
-
(X=0, Y=0): Não tiramos nem valete nem dama.
- Existem 4 valetes e 4 damas no baralho, então há 52 - 4 - 4 = 44 cartas que não são nem valetes nem damas.
- Número de casos favoráveis:
- Probabilidade:
-
(X=0, Y=1): Tiramos 1 dama e nenhuma valete.
- Escolhemos 1 dama das 4 existentes e 1 carta que não é nem dama nem valete das 44 restantes.
- Número de casos favoráveis:
- Probabilidade:
-
(X=0, Y=2): Tiramos 2 damas.
- Número de casos favoráveis:
- Probabilidade:
- Número de casos favoráveis:
-
(X=1, Y=0): Tiramos 1 valete e nenhuma dama.
- Escolhemos 1 valete das 4 existentes e 1 carta que não é nem dama nem valete das 44 restantes.
- Número de casos favoráveis:
- Probabilidade:
-
(X=1, Y=1): Tiramos 1 valete e 1 dama.
- Escolhemos 1 valete das 4 existentes e 1 dama das 4 existentes.
- Número de casos favoráveis:
- Probabilidade:
-
(X=2, Y=0): Tiramos 2 valetes.
- Número de casos favoráveis:
- Probabilidade:
- Número de casos favoráveis:
Resposta
A distribuição de probabilidade conjunta de (X, Y) é:
X \ Y | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|
0 | 0,714 | 0,133 | 0,0045 |
1 | 0,133 | 0,012 | 0 |
2 | 0,0045 | 0 | 0 |
Isso significa, por exemplo, que a probabilidade de tirar nenhuma valete e nenhuma dama é aproximadamente 71,4%, enquanto a probabilidade de tirar 1 valete e 1 dama é aproximadamente 1,2%.