Suponha que 2 cartas sejam retiradas, uma após a outra, sem reposição, de um baralho completo ( 52 cartas). Seja X o número de valetes obtido e Y o número de damas.
a) Encontre a distribuição de probabilidade conjunta de (X,Y);

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem um baralho completo com 52 cartas e vai tirar 2 cartas, uma depois da outra, sem colocar a primeira de volta. A variável X representa o número de valetes (jacks) que a gente pode tirar e Y representa o número de damas (queens). Nosso objetivo aqui é encontrar a distribuição de probabilidade conjunta de (X, Y), ou seja, as probabilidades para todas as combinações possíveis de X e Y.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de probabilidade combinatória, como o número de combinações possíveis e como calcular a probabilidade de eventos conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as combinações possíveis de valores que X e Y podem assumir. Como estamos tirando 2 cartas, tanto X quanto Y podem ser 0, 1 ou 2, mas não podemos ter mais de 2 cartas no total. Então, as combinações possíveis são:
  • (X=0, Y=0)
  • (X=0, Y=1)
  • (X=0, Y=2)
  • (X=1, Y=0)
  • (X=1, Y=1)
  • (X=2, Y=0)

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade para cada uma dessas combinações. Para isso, vamos usar a fórmula da probabilidade combinatória, que é:
P(A) = número de casos favoráveisnúmero de casos possíveis úáúí
Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de tirar 2 cartas de um baralho de 52:
binom522 = 52 times 512 = 1326
Então, temos 1326 combinações possíveis de 2 cartas.

Passo 4

Vamos agora calcular as probabilidades para cada combinação de (X, Y):
  1. (X=0, Y=0): Não tiramos nem valete nem dama.
    • Existem 4 valetes e 4 damas no baralho, então há 52 - 4 - 4 = 44 cartas que não são nem valetes nem damas.
    • Número de casos favoráveis:
    • Probabilidade:
  2. (X=0, Y=1): Tiramos 1 dama e nenhuma valete.
    • Escolhemos 1 dama das 4 existentes e 1 carta que não é nem dama nem valete das 44 restantes.
    • Número de casos favoráveis:
    • Probabilidade:
  3. (X=0, Y=2): Tiramos 2 damas.
    • Número de casos favoráveis:
    • Probabilidade:
  4. (X=1, Y=0): Tiramos 1 valete e nenhuma dama.
    • Escolhemos 1 valete das 4 existentes e 1 carta que não é nem dama nem valete das 44 restantes.
    • Número de casos favoráveis:
    • Probabilidade:
  5. (X=1, Y=1): Tiramos 1 valete e 1 dama.
    • Escolhemos 1 valete das 4 existentes e 1 dama das 4 existentes.
    • Número de casos favoráveis:
    • Probabilidade:
  6. (X=2, Y=0): Tiramos 2 valetes.
    • Número de casos favoráveis:
    • Probabilidade:

Resposta

A distribuição de probabilidade conjunta de (X, Y) é:
X \ Y 0 1 2
0 0,714 0,133 0,0045
1 0,133 0,012 0
2 0,0045 0 0
Isso significa, por exemplo, que a probabilidade de tirar nenhuma valete e nenhuma dama é aproximadamente 71,4%, enquanto a probabilidade de tirar 1 valete e 1 dama é aproximadamente 1,2%.

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