2- uma caixa contem 6 peças boas e 4 defeituosa. Retiram-se 3 peças sem reposição. Qual é a probabilidade de no minimo uma peça ser defeituosa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Há uma caixa com 6 peças boas e 4 peças defeituosas.
  • Retiram-se 3 peças sem reposição.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que haja pelo menos uma peça defeituosa entre as 3 retiradas?

Passo 2

Estratégia (ideia principal): é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar — isto é, a probabilidade de não haver nenhuma peça defeituosa (ou seja, todas as 3 são boas) — e depois usar a regra do complemento.
A regra do complemento diz:
P(\text{pelo menos uma defeituosa}) = 1 - P(\text{nenhuma defeituosa}).
Explico: “nenhuma defeituosa” significa que as 3 peças retiradas são todas boas.

Passo 3

Método por contagem combinatória (fórmula hipergeométrica): quando tiramos sem reposição, o número de maneiras de escolher n itens de um total T é \binom{T}{n}. Se queremos escolher somente entre as boas, o número de maneiras favoráveis é \binom{G}{n}, onde G é o número de boas.
Definindo:
  • G=6 (boas),
  • D=4 (defeituosas),
  • T=10 (total),
  • n=3 (retiradas).
    A probabilidade de tirar 0 defeituosas (ou seja, 3 boas) é
P(\text{nenhuma defeituosa})=\frac{\binom{6}{3}}{\binom{10}{3}}.
Aqui \binom{6}{3} conta as escolhas de 3 boas e \binom{10}{3} conta todas as escolhas possíveis de 3 peças.

Passo 4

Calculo dos combinatórios passo a passo:
\binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20.
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120.
Logo
P(\text{nenhuma defeituosa})=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}.

Passo 5

Verificação por outro método (probabilidades sequenciais sem reposição): calcular diretamente a probabilidade de primeiro ser boa, segundo ser boa, terceiro ser boa e multiplicar:
  • P(\text{1ª boa})=\dfrac{6}{10}ª.
  • Dado que saiu uma boa, restam 5 boas e 9 no total, então P(\text{2ª boa}|\,\text{1ª boa})=\dfrac{5}{9}ªª.
  • Dado que saíram duas boas, restam 4 boas e 8 no total, então P(\text{3ª boa}|\,\text{2 primeiras boas})=\dfrac{4}{8}ª.
    Multiplicando:
\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{8}=\frac{6\cdot5\cdot4}{10\cdot9\cdot8}=\frac{120}{720}=\frac{1}{6},
o mesmo resultado — bom sinal!

Passo 6

Agora aplicamos a regra do complemento:
P(\text{pelo menos uma defeituosa})=1-P(\text{nenhuma defeituosa})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.
Em forma decimal, \dfrac{5}{6}\approx 0,8333.

Resposta

\dfrac{5}{6} ( \approx 0,8333)

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