1- O tempo em horas ate que uma maquina apresente falha segue um modelo probabilistico adequado. Sabe-se que acontece 0,05 falha por hora. Qual é a probabilidade de a maquina durar mais de 30 horas sem falhar?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que a máquina dure mais de 30 horas sem falhar. As informações dadas são:
- A taxa de falhas é de
falhas por hora. - Queremos a probabilidade de o tempo até a primeira falha ser maior que
horas, ou seja .
Passo 2
Vamos modelar o problema com o processo de falhas a uma taxa constante
. Quando as falhas ocorrem com taxa constante no tempo (sem dependência do passado) o tempo até a primeira falha
segue a distribuição exponencial com parâmetro
. Não se preocupe com o nome — vou explicar o que isso significa e como usar.
Passo 3
Definição e fórmulas importantes (explicadas devagar):
- O parâmetro
é a taxa de falhas por unidade de tempo (aqui por hora). No nosso problema . - A densidade de probabilidade da distribuição exponencial é
Aqui
dá a “densidade” de probabilidade em torno de
.
- A função de sobrevivência (probabilidade de durar mais que
) é
Nessa fórmula,
é o tempo em horas que queremos verificar;
é o valor adimensional que aparece no expoente.
Passo 4
Intuição alternativa (sem cálculo avançado): se as falhas seguem um processo de Poisson com taxa
, o número de falhas em um intervalo de duração
tem distribuição de Poisson com média
. A probabilidade de não ocorrer nenhuma falha nesse intervalo é a probabilidade de
eventos em Poisson:
Essa é exatamente a mesma expressão da função de sobrevivência da exponencial — duas formas de ver o mesmo fenômeno.
Passo 5
Agora aplicamos os dados do enunciado na fórmula. Temos
e
. Calculamos o produto:
Passo 6
Substituindo na função de sobrevivência:
Para obter um valor numérico aproximado, usamos que
. Uma maneira prática de ver isso é
.
Passo 7
Interpretação final: a probabilidade de a máquina não falhar nas próximas
horas, dado que a taxa média de falhas é
por hora, é aproximadamente
. Isso significa que, em média, em torno de
a cada
máquinas idênticas sobreviveriam pelo menos
horas sem falha.