1- O tempo em horas ate que uma maquina apresente falha segue um modelo probabilistico adequado. Sabe-se que acontece 0,05 falha por hora. Qual é a probabilidade de a maquina durar mais de 30 horas sem falhar?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que a máquina dure mais de 30 horas sem falhar. As informações dadas são:
  • A taxa de falhas é de \lambda = 0,05 falhas por hora.
  • Queremos a probabilidade de o tempo até a primeira falha ser maior que 30 horas, ou seja \;P(T>30).

Passo 2

Vamos modelar o problema com o processo de falhas a uma taxa constante \lambda. Quando as falhas ocorrem com taxa constante no tempo (sem dependência do passado) o tempo até a primeira falha T segue a distribuição exponencial com parâmetro \lambda. Não se preocupe com o nome — vou explicar o que isso significa e como usar.

Passo 3

Definição e fórmulas importantes (explicadas devagar):
  • O parâmetro \lambda é a taxa de falhas por unidade de tempo (aqui por hora). No nosso problema \lambda=0,05.
  • A densidade de probabilidade da distribuição exponencial é
f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t},\quad t\ge 0.
Aqui f_T(t) dá a “densidade” de probabilidade em torno de t.
  • A função de sobrevivência (probabilidade de durar mais que t) é
P(T>t)=\int_{t}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x}\,dx = e^{-\lambda t}.
Nessa fórmula, t é o tempo em horas que queremos verificar; \lambda t é o valor adimensional que aparece no expoente.

Passo 4

Intuição alternativa (sem cálculo avançado): se as falhas seguem um processo de Poisson com taxa \lambda, o número de falhas em um intervalo de duração t tem distribuição de Poisson com média \lambda t. A probabilidade de não ocorrer nenhuma falha nesse intervalo é a probabilidade de 0 eventos em Poisson:
P(\text{nenhuma falha em }[0,t]) = e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^0}{0!}=e^{-\lambda t}.
Essa é exatamente a mesma expressão da função de sobrevivência da exponencial — duas formas de ver o mesmo fenômeno.

Passo 5

Agora aplicamos os dados do enunciado na fórmula. Temos \lambda=0,05 e t=30. Calculamos o produto:
\lambda t = 0,05\cdot 30 = 1,5.

Passo 6

Substituindo na função de sobrevivência:
P(T>30)=e^{-\lambda t}=e^{-1,5}.
Para obter um valor numérico aproximado, usamos que e^{-1,5}\approx 0,22313016. Uma maneira prática de ver isso é e^{-1,5}=e^{-1}\cdot e^{-0,5}\approx 0,36787944\cdot 0,60653066\approx 0,22313016.

Passo 7

Interpretação final: a probabilidade de a máquina não falhar nas próximas 30 horas, dado que a taxa média de falhas é 0,05 por hora, é aproximadamente 22{,}31\%. Isso significa que, em média, em torno de 22 a cada 100 máquinas idênticas sobreviveriam pelo menos 30 horas sem falha.

Resposta

\;P(T>30)=e^{-1,5}\approx0,22313016

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