3-Em uma central telefonica, chegaram em média 3 ligações por minuto. Qual é a probabilidade de ocorrerem até 2 ligações em dois minutos?
Passo 1
O enunciado diz: chegaram em média
ligações por minuto. Pede-se a probabilidade de ocorrerem até
ligações em
minutos.
Informações dadas:
ligações por minuto (taxa média) e intervalo de tempo
minutos.
O que é pedido: probabilidade de ocorrerem no máximo
ligações nesse intervalo de
minutos, isto é
, onde
é o número de ligações em
minutos.
Informações dadas:
O que é pedido:
Passo 2
Escolha do modelo e parâmetro para o intervalo de
minutos.
Quando um evento (aqui: chegada de ligações) ocorre com uma taxa média constante por unidade de tempo e os eventos são raros em pequenos intervalos, o número de eventos em um intervalo de tempo segue uma distribuição cujo parâmetro é a média esperada no intervalo. Esse parâmetro é obtido multiplicando a taxa média pela duração do intervalo.
Aqui a taxa média é ligações por minuto e o intervalo tem
minutos, logo o parâmetro (a média esperada de ligações no intervalo) é
Quando um evento (aqui: chegada de ligações) ocorre com uma taxa média constante por unidade de tempo e os eventos são raros em pequenos intervalos, o número de eventos em um intervalo de tempo segue uma distribuição cujo parâmetro é a média esperada no intervalo. Esse parâmetro é obtido multiplicando a taxa média pela duração do intervalo.
Aqui a taxa média é
Significado de
: é o valor médio (esperança) do número de ligações no intervalo de
minutos; também aparece nas fórmulas que dão as probabilidades.
Passo 3
Fórmula da probabilidade para exatamente
eventos no intervalo (apresento a fórmula e explico cada parte).
A probabilidade de ocorrer exatamente eventos é dada por
A probabilidade de ocorrer exatamente
Explicando os termos:
-
é a variável aleatória que conta o número de ligações no intervalo de minutos. -
é a média esperada no intervalo (aqui ). -
é uma constante de normalização (veja que é a base dos logaritmos naturais, ). -
eleva a média ao número de eventos que queremos. -
(fatorial de ) é , com .
O que queremos é a probabilidade de ocorrerem atéligações, ou seja
Passo 4
Aplicando a fórmula termo a termo com
.
Para :
Para
Para
:
Para
:
Passo 5
Somando os termos para obter
.
Somando as três probabilidades:
Somando as três probabilidades:
Portanto a forma exata e compacta da resposta é
.
Passo 6
Aproximação numérica (se quiser um número decimal para interpretar).
Vamos aproximar . Sabendo
, temos
(por exemplo
e
, então
). Assim
Vamos aproximar
Multiplicando por
:
Em porcentagem isso é aproximadamente
.
Mantenha calma — é normal achar esses passos chatos no começo; você já entendeu a ideia: ajustar a média para o intervalo e somar os termos da fórmula. Dá pra fazer bem rápido na prova quando treinar um pouco.