3-Em uma central telefonica, chegaram em média 3 ligações por minuto. Qual é a probabilidade de ocorrerem até 2 ligações em dois minutos?

Passo 1

O enunciado diz: chegaram em média \,3 ligações por minuto. Pede-se a probabilidade de ocorrerem até \,2 ligações em \,2 minutos.
Informações dadas:
\,3 ligações por minuto (taxa média) e intervalo de tempo \,2 minutos.
O que é pedido: probabilidade de ocorrerem no máximo \,2 ligações nesse intervalo de \,2 minutos, isto é P(X\le 2), onde X é o número de ligações em 2 minutos.

Passo 2

Escolha do modelo e parâmetro para o intervalo de 2 minutos.
Quando um evento (aqui: chegada de ligações) ocorre com uma taxa média constante por unidade de tempo e os eventos são raros em pequenos intervalos, o número de eventos em um intervalo de tempo segue uma distribuição cujo parâmetro é a média esperada no intervalo. Esse parâmetro é obtido multiplicando a taxa média pela duração do intervalo.
Aqui a taxa média é \,3 ligações por minuto e o intervalo tem \,2 minutos, logo o parâmetro (a média esperada de ligações no intervalo) é
\lambda = 3 \cdot 2 = 6.
Significado de \lambda: é o valor médio (esperança) do número de ligações no intervalo de 2 minutos; também aparece nas fórmulas que dão as probabilidades.

Passo 3

Fórmula da probabilidade para exatamente k eventos no intervalo (apresento a fórmula e explico cada parte).
A probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é dada por
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Explicando os termos:
  • \,X é a variável aleatória que conta o número de ligações no intervalo de 2 minutos.
  • \,\lambda é a média esperada no intervalo (aqui \,6).
  • \,e^{-\lambda} é uma constante de normalização (veja que e é a base dos logaritmos naturais, e\approx2,71828).
  • \,\lambda^{k} eleva a média ao número de eventos que queremos.
  • \,k! (fatorial de k) é k(k-1)(k-2)\cdots1, com 0! = 1.
    O que queremos é a probabilidade de ocorrerem até \,2 ligações, ou seja
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).

Passo 4

Aplicando a fórmula termo a termo com \lambda=6.
Para k=0:
P(X=0)=e^{-6}\frac{6^{0}}{0!}=e^{-6}\cdot 1.
Para k=1:
P(X=1)=e^{-6}\frac{6^{1}}{1!}=e^{-6}\cdot 6.
Para k=2:
P(X=2)=e^{-6}\frac{6^{2}}{2!}=e^{-6}\frac{36}{2}=e^{-6}\cdot 18.

Passo 5

Somando os termos para obter P(X\le 2).
Somando as três probabilidades:
P(X\le 2)=e^{-6}\big(1+6+18\big)=e^{-6}\cdot 25.
Portanto a forma exata e compacta da resposta é \,25e^{-6}.

Passo 6

Aproximação numérica (se quiser um número decimal para interpretar).
Vamos aproximar \,e^{-6}. Sabendo \,e\approx2,71828, temos \,e^{6}\approx403{,}4288 (por exemplo \,e^{6}=(e^{3})^{2} e \,e^{3}\approx20{,}08554, então (20{,}08554)^{2}\approx403{,}4288). Assim
e^{-6}\approx\frac{1}{403{,}4288}\approx0{,}002478752.
Multiplicando por 25:
P(X\le 2)\approx 25\cdot 0{,}002478752 \approx 0{,}0619688.
Em porcentagem isso é aproximadamente 6{,}20\%.
Mantenha calma — é normal achar esses passos chatos no começo; você já entendeu a ideia: ajustar a média para o intervalo e somar os termos da fórmula. Dá pra fazer bem rápido na prova quando treinar um pouco.

Resposta

\;25e^{-6}
\;\approx 0,0619688

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