ENUNCIADO

CADA AMOSTRA DE AR TEM 10 \% DE CHANCE DE CONHER UMA CERTA MOLÉCULA RARA. CONSIDERE QUE/ AS AMOStras sesam independentes com relação `a presença DA MOLÉCULA RARA. ENCONTRE A PROB. DE QUE NAS PRÓXIMAS 18 AMOSTRAS:
A) EXATAMENTE 2 CONTENHAM TAL MOLÉCULA;
B) NO MÍNIMO, 4 CONTENHAM TAL MOLÉCULA;
c) ENTRE 3 E 6 TENHAM A MOLÉCULA.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Temos 18 amostras independentes.
  • Cada amostra tem probabilidade 10\% de conter a molécula rara.
  • Perguntas:
    A) Qual a probabilidade de exatamente 2 amostras conterem a molécula?
    B) Qual a probabilidade de que, no mínimo, 4 amostras contenham a molécula?
    C) Qual a probabilidade de que entre 3 e 6 amostras (inclusive) contenham a molécula?

Passo 2

Vamos modelar a situação com uma variável aleatória e a fórmula adequada (a ferramenta que serve para esse tipo de problema).
Definimos X = número de amostras, entre as 18, que contém a molécula. Como cada amostra é independente e tem mesma probabilidade de sucesso, X segue uma distribuição binomial com parâmetros n (número de ensaios) e p (probabilidade de sucesso em cada ensaio). Aqui:
n = 18,\qquad p = 0{,}10.
A probabilidade de X assumir exatamente k sucessos é dada pela fórmula da binomial:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}.
Explicando os termos:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k amostras (das n) são as que deram positivo. Em fatoriais, \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
  • p^{k} é a probabilidade de que justamente essas k amostras sejam positivas.
  • (1-p)^{n-k} é a probabilidade de que as demais n-k sejam negativas.
Vou usar essa fórmula passo a passo para cada item. Quando for conveniente somar várias probabilidades, usarei a regra do complemento P(X\ge a)=1-P(X\le a-1) para economizar cálculos.

Passo 3

Parte A: calcular P(X=2).
Aplicando a fórmula com n=18, p=0{,}1 e k=2:
P(X=2)=\binom{18}{2}\,(0{,}1)^{2}\,(0{,}9)^{16}.
Calculamos os componentes:
\binom{18}{2}=\frac{18\cdot17}{2}=153.
(0{,}1)^{2}=0{,}01,\qquad (0{,}9)^{16}\approx 0{,}1853020188851841.
Multiplicando:
P(X=2)=153\cdot 0{,}01\cdot 0{,}1853020188851841 \approx 0{,}2835120889.
Interpretação rápida: há aproximadamente 28{,}35\% de chance de exatamente duas amostras serem positivas.

Passo 4

Parte B: calcular P(X\ge 4).
Usamos o complemento porque é mais fácil somar poucos termos do lado oposto:
P(X\ge 4)=1-P(X\le 3)=1-\bigl(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\bigr).
Já temos P(X=2). Vamos calcular P(X=0), P(X=1) e P(X=3) usando a fórmula da binomial.
  • P(X=0):
P(X=0)=\binom{18}{0}(0{,}1)^{0}(0{,}9)^{18}=(0{,}9)^{18}\approx 0{,}1500946353.
  • P(X=1):
P(X=1)=\binom{18}{1}(0{,}1)^{1}(0{,}9)^{17}=18\cdot 0{,}1\cdot (0{,}9)^{17}.
Calculando (0{,}9)^{17}=(0{,}9)^{18}/0{,}9\approx 0{,}1667718170, então
P(X=1)\approx 18\cdot 0{,}1\cdot 0{,}1667718170 \approx 0{,}3001892706.
  • P(X=2) já calculado:
P(X=2)\approx 0{,}2835120889.
  • P(X=3):
P(X=3)=\binom{18}{3}(0{,}1)^{3}(0{,}9)^{15}.
\binom{18}{3}=\frac{18\cdot17\cdot16}{6}=816.
(0{,}1)^{3}=0{,}001,\qquad (0{,}9)^{15}\approx 0{,}2058911321,
então
P(X=3)=816\cdot 0{,}001\cdot 0{,}2058911321 \approx 0{,}1680071638.
Somando P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3):
\approx 0{,}1500946353 + 0{,}3001892706 + 0{,}2835120889 + 0{,}1680071638 \approx 0{,}9018031586.
Logo
P(X\ge 4)=1-0{,}9018031586 \approx 0{,}0981968414.
Interpretação: cerca de 9{,}82\% de chance de que pelo menos 4 amostras sejam positivas.

Passo 5

Parte C: calcular P(3\le X\le 6).
Isto é
P(3\le X\le 6)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6).
Já temos P(X=3). Vamos calcular P(X=4),P(X=5),P(X=6).
  • P(X=4):
\binom{18}{4}=\frac{18\cdot17\cdot16\cdot15}{24}=3060,
(0{,}1)^{4}=0{,}0001,\qquad (0{,}9)^{14}\approx 0{,}2287679245,
P(X=4)=3060\cdot 0{,}0001\cdot 0{,}2287679245 \approx 0{,}0700029849.
  • P(X=5):
\binom{18}{5}=8568,\qquad (0{,}1)^{5}=0{,}00001,\qquad (0{,}9)^{13}\approx 0{,}2541865828,
P(X=5)=8568\cdot 0{,}00001\cdot 0{,}2541865828 \approx 0{,}0217787064.
  • P(X=6):
\binom{18}{6}=18564,\qquad (0{,}1)^{6}=0{,}000001,\qquad (0{,}9)^{12}\approx 0{,}2824295365,
P(X=6)=18564\cdot 0{,}000001\cdot 0{,}2824295365 \approx 0{,}0052430219.
Somando:
P(3\le X\le 6)\approx 0{,}1680071638 + 0{,}0700029849 + 0{,}0217787064 + 0{,}0052430219 \approx 0{,}2650318770.
Interpretação: há cerca de 26{,}50\% de chance de que entre 3 e 6 amostras (inclusive) contenham a molécula.

Passo 6

Dica rápida para prova (curta e prática): use a fórmula da binomial direta para "exatamente k". Para "pelo menos a" use complemento 1-P(X\le a-1). Para intervalos somar os termos individuais ou usar tabelas/ calculadora quando permitido. Respira fundo — você vai conseguir!

Resposta

P(X=2)\approx 0{,}2835
P(X\ge 4)\approx 0{,}0982
P(3\le X\le 6)\approx 0{,}2650

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