ENUNCIADO
CADA AMOSTRA DE AR TEM
DE CHANCE DE CONHER UMA CERTA MOLÉCULA RARA. CONSIDERE QUE/ AS AMOStras sesam independentes com relação `a presença DA MOLÉCULA RARA. ENCONTRE A PROB. DE QUE NAS PRÓXIMAS 18 AMOSTRAS:
A) EXATAMENTE 2 CONTENHAM TAL MOLÉCULA;
B) NO MÍNIMO, 4 CONTENHAM TAL MOLÉCULA;
c) ENTRE 3 E 6 TENHAM A MOLÉCULA.
A) EXATAMENTE 2 CONTENHAM TAL MOLÉCULA;
B) NO MÍNIMO, 4 CONTENHAM TAL MOLÉCULA;
c) ENTRE 3 E 6 TENHAM A MOLÉCULA.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Temos
amostras independentes. - Cada amostra tem probabilidade
de conter a molécula rara. - Perguntas:
A) Qual a probabilidade de exatamenteamostras conterem a molécula?
B) Qual a probabilidade de que, no mínimo,amostras contenham a molécula?
C) Qual a probabilidade de que entree amostras (inclusive) contenham a molécula?
Passo 2
Vamos modelar a situação com uma variável aleatória e a fórmula adequada (a ferramenta que serve para esse tipo de problema).
Definimos
= número de amostras, entre as
, que contém a molécula. Como cada amostra é independente e tem mesma probabilidade de sucesso,
segue uma distribuição binomial com parâmetros
(número de ensaios) e
(probabilidade de sucesso em cada ensaio). Aqui:
A probabilidade de
assumir exatamente
sucessos é dada pela fórmula da binomial:
Explicando os termos:
-
é o número de maneiras de escolher quais amostras (das ) são as que deram positivo. Em fatoriais, -
é a probabilidade de que justamente essas amostras sejam positivas. -
é a probabilidade de que as demais sejam negativas.
Vou usar essa fórmula passo a passo para cada item. Quando for conveniente somar várias probabilidades, usarei a regra do complemento
para economizar cálculos.
Passo 3
Parte A: calcular
.
Aplicando a fórmula com
,
e
:
Calculamos os componentes:
Multiplicando:
Interpretação rápida: há aproximadamente
de chance de exatamente duas amostras serem positivas.
Passo 4
Parte B: calcular
.
Usamos o complemento porque é mais fácil somar poucos termos do lado oposto:
Já temos
. Vamos calcular
,
e
usando a fórmula da binomial.
-
:
-
:
Calculando
, então
-
já calculado:
-
:
então
Somando
:
Logo
Interpretação: cerca de
de chance de que pelo menos
amostras sejam positivas.
Passo 5
Parte C: calcular
.
Isto é
Já temos
. Vamos calcular
.
-
:
-
:
-
:
Somando:
Interpretação: há cerca de
de chance de que entre
e
amostras (inclusive) contenham a molécula.
Passo 6
Dica rápida para prova (curta e prática): use a fórmula da binomial direta para "exatamente
". Para "pelo menos
" use complemento
. Para intervalos somar os termos individuais ou usar tabelas/ calculadora quando permitido. Respira fundo — você vai conseguir!