Uma caixa contém
bolas vermelhas e
pretas. Bolas são extraídas sem reposição, uma de cada vez. Determine a probabilidade de obter a primeira bola preta na
-ésima extração.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: numa caixa temos r bolas vermelhas e b bolas pretas, e vamos tirando uma por vez sem repor. Queremos a probabilidade de que a primeira bola preta apareça exatamente na n-ésima extração.
Conteúdo: probabilidade condicional e regra do produto.
O que vamos usar:
Conteúdo: probabilidade condicional e regra do produto.
O que vamos usar:
- Probabilidade de eventos sucessivos sem reposição (multiplicação de frações que mudam a cada extração).
- Depois aplicamos a regra do produto pra combinar “n–1 vermelhas” com “preta no n”.
Passo 2
Primeiro, calculamos a chance de tirar só bolas vermelhas nas primeiras n–1 extrações.
Na 1ª extração: prob de vermelha =
Na 1ª extração: prob de vermelha =
Na 2ª extração, como já saiu uma vermelha, sobra r–1 vermelhas e b pretas, total
. Então:
E assim por diante até a (n–1)-ésima extração. Em geral, para i de 0 a n–2:
Logo
Passo 3
Agora, dado que já tiramos n–1 vermelhas, na n-ésima extração restam
total
. Então a probabilidade de preta na n-ésima é
Passo 4
Pela regra do produto, a probabilidade de “n–1 vermelhas seguidas e depois a primeira preta” é o produto dos dois pedaços:
Se quiser dar uma forma com binomiais, dá pra mostrar que
então
Resposta
(que é zero se
, pois aí não há vermelhas suficientes para atrasar a primeira preta até a extração n).