Uma caixa contém r bolas vermelhas e b pretas. Bolas são extraídas sem reposição, uma de cada vez. Determine a probabilidade de obter a primeira bola preta na n-ésima extração.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: numa caixa temos r bolas vermelhas e b bolas pretas, e vamos tirando uma por vez sem repor. Queremos a probabilidade de que a primeira bola preta apareça exatamente na n-ésima extração.
Conteúdo: probabilidade condicional e regra do produto.
O que vamos usar:
  1. Probabilidade de eventos sucessivos sem reposição (multiplicação de frações que mudam a cada extração).
  2. Depois aplicamos a regra do produto pra combinar “n–1 vermelhas” com “preta no n”.

Passo 2

Primeiro, calculamos a chance de tirar só bolas vermelhas nas primeiras n–1 extrações.
Na 1ª extração: prob de vermelha =
rr + b
Na 2ª extração, como já saiu uma vermelha, sobra r–1 vermelhas e b pretas, total r-1r + b - 1 . Então:
i+1-ésima vermelha = r - i,r + b - i,
E assim por diante até a (n–1)-ésima extração. Em geral, para i de 0 a n–2:
P(1ª a (n-1)ª todas vermelhas) = prodi=0^n-2r - ir + b - i é
Logo
ªª

Passo 3

Agora, dado que já tiramos n–1 vermelhas, na n-ésima extração restam
r - (n-1) vermelhase b pretas,
total P(preta na n-ésimamid n-1 vermelhas) = b,r + b - (n-1), . Então a probabilidade de preta na n-ésima é
é

Passo 4

Pela regra do produto, a probabilidade de “n–1 vermelhas seguidas e depois a primeira preta” é o produto dos dois pedaços:
P(1ª preta na n) = l[prodi=0^n-2r - ir + b - ir] ;times;br + b - (n-1) ª
Se quiser dar uma forma com binomiais, dá pra mostrar que
prodi=0^n-2r - ir + b - i = binomr,n-1,binomr+b,n-1,,
então
P(1ª preta na n) = binomr,n-1,binomr+b,n-1, ;times;br + b - (n-1) ª

Resposta

boxed P(primeira preta na n) = l(prodi=0^n-2r - ir + b - ir),br + b - (n-1)
(que é zero se , pois aí não há vermelhas suficientes para atrasar a primeira preta até a extração n).

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