Suponha que temos r caixas. Bolas são colocadas aleatoriamente nas caixas, uma de cada vez, até que alguma caixa contenha duas bolas pela primeira vez. Determine a probabilidade de que isto ocorra na n-ésima bola, com r >= n-1.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos r caixas e estamos colocando bolas uma a uma nas caixas de forma aleatória. Queremos descobrir qual a probabilidade de que, ao colocar a n-ésima bola, seja a primeira vez que alguma caixa contenha duas bolas. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade e combinatória, especificamente relacionados a eventos independentes e contagem de possibilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de que, nas primeiras n-1 bolas, todas elas fiquem em caixas diferentes. Isso significa que nenhuma caixa recebeu mais de uma bola até o (n-1)-ésimo passo.
Para a primeira bola, temos r opções de caixas. Para a segunda bola, para que esteja em uma caixa diferente, temos r-1 opções, e assim por diante até a (n-1)-ésima bola, que terá r - (n-2) opções.
A probabilidade de todas as primeiras n-1 bolas estarem em caixas diferentes é:

Passo 3

Agora, queremos que a n-ésima bola caia em uma caixa que já tenha uma bola. Como nas primeiras n-1 bolas todas estavam em caixas diferentes, existem exatamente n-1 caixas ocupadas.
A probabilidade de a n-ésima bola cair em uma dessas caixas já ocupadas é:
P(caixa já ocupada) = n-1r á

Passo 4

Para encontrar a probabilidade total de que a primeira repetição ocorra exatamente na n-ésima bola, multiplicamos as duas probabilidades que calculamos:
P(primeira repetição na n-ésima bola) = P(todas diferentes) times P(caixa já ocupada) çãéá
Substituindo as expressões:
P = ( r times (r-1) times dots times (r - n + 2)r^n-1 ) times ( n-1r )

Resposta

A probabilidade de que a primeira caixa contenha duas bolas na n-ésima bola é:
P = r times (r-1) times dots times (r - n + 2) times (n-1)r^n

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