Suponha que temos
caixas. Bolas são colocadas aleatoriamente nas caixas, uma de cada vez, até que alguma caixa contenha duas bolas pela primeira vez. Determine a probabilidade de que isto ocorra na
-ésima bola, com
.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos
caixas e estamos colocando bolas uma a uma nas caixas de forma aleatória. Queremos descobrir qual a probabilidade de que, ao colocar a
-ésima bola, seja a primeira vez que alguma caixa contenha duas bolas. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade e combinatória, especificamente relacionados a eventos independentes e contagem de possibilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de que, nas primeiras
bolas, todas elas fiquem em caixas diferentes. Isso significa que nenhuma caixa recebeu mais de uma bola até o
-ésimo passo.
Para a primeira bola, temos
opções de caixas. Para a segunda bola, para que esteja em uma caixa diferente, temos
opções, e assim por diante até a
-ésima bola, que terá
opções.
A probabilidade de todas as primeiras
bolas estarem em caixas diferentes é:
Passo 3
Agora, queremos que a
-ésima bola caia em uma caixa que já tenha uma bola. Como nas primeiras
bolas todas estavam em caixas diferentes, existem exatamente
caixas ocupadas.
A probabilidade de a
-ésima bola cair em uma dessas caixas já ocupadas é:
Passo 4
Para encontrar a probabilidade total de que a primeira repetição ocorra exatamente na
-ésima bola, multiplicamos as duas probabilidades que calculamos:
Substituindo as expressões:
Resposta
A probabilidade de que a primeira caixa contenha duas bolas na
-ésima bola é: