Se distribuirmos aleatoriamente n bolas em r caixas, qual a probabilidade de que a caixa 1 contenha exatamente j bolas, 0 <= j <= n?

Passo 1

Beleza, vamos recortar o problema: a ideia é que você tem bolas e joga cada uma, ao acaso, em uma de caixas. Quer saber qual é a chance de que a “caixa 1” receba exatamente bolas.
Conteúdo: probabilidade discreta, mais especificamente a distribuição binomial.
O que vamos precisar:
  1. Entender que cada bola é um “ensaio” com probabilidade de sucesso (sucesso = cair na caixa 1).
  2. Saber usar o coeficiente binomial .
  3. Conhecer a fórmula da distribuição binomial.

Passo 2

Modelagem e teoria passo a passo:
  1. Cada bola que você joga tem probabilidade P(X=j);=;binomnj,p^,j,(1-p)^,n-j, de “acertar” a caixa 1, e probabilidade binomnj=n!j!,(n-j)! de ir para outra caixa.
  2. São jogadas independentes (cada bola não “lembra” das outras).
  3. Quando você soma variáveis de Bernoulli (cada uma valendo 1 se cair na caixa 1 e 0 caso contrário), o total de “sucessos” segue uma distribuição binomial com parâmetros .
  4. A fórmula dessa distribuição é:
onde

Passo 3

Agora é só trocar P(caixa 1 tem j bolas) = binomnj,l(tfrac1rr)^!j,l(tfracr-1rr)^!n-j na fórmula:

Resposta

boxed,P,caixa 1 tem j bolas = binomnj,l(1rr)^!j,l(r-1rr)^!n-j,

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