Sejam A e B eventos com P(A)=\frac{1}{4}, P(A \cup B)=\frac{1}{3} e P(B)=p.
Encontre p, se A é um subconjunto de B.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • P(A)=\dfrac{1}{4}.
  • P(A\cup B)=\dfrac{1}{3}.
  • P(B)=p (valor desconhecido a determinar).
  • É dito que A é um subconjunto de B (ou seja, A\subseteq B).
O que o problema pede: encontrar o valor de p.

Passo 2

Lembrando uma fórmula básica de probabilidade que vamos usar (vou explicar o que cada coisa significa):
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Aqui:
  • P(A\cup B) é a probabilidade de ocorrer A ou B (ou ambos).
  • P(A) e P(B) são as probabilidades de A e B isoladamente.
  • P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente A e B.
    Essa fórmula evita contar duas vezes a interseção quando somamos P(A) e P(B).

Passo 3

Usando a hipótese A\subseteq B: toda ocorrência de A também ocorre em B. Consequências imediatas (explicando devagar):
  • A interseção é exatamente A, isto é,
A\cap B = A,
porque os elementos comuns a A e B são simplesmente todos os elementos de A.
  • A união é exatamente B, isto é,
A\cup B = B,
porque juntar A com B não acrescenta nada a B (já contém A).

Passo 4

Substituindo A\cup B = B e usando os números dados:
P(A\cup B)=P(B).
Pelo enunciado P(A\cup B)=\dfrac{1}{3} e P(B)=p. Portanto
p=\dfrac{1}{3}.

Passo 5

Verificação rápida de consistência (importante na prova): se A\subseteq B então sempre vale P(B)\ge P(A). Aqui temos
P(B)=\dfrac{1}{3}\quad\text{e}\quad P(A)=\dfrac{1}{4},
e realmente \dfrac{1}{3}\ge\dfrac{1}{4}, então o resultado é consistente.

Resposta

p=\dfrac{1}{3}

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