Uma caixa d’água com diâmetro D=4,0 \mathrm{~m} e a uma altura h=22,0 \mathrm{~m}, abastece de água uma casa. Uma tubulação horizontal que sai da base da torre possui um diâmetro \mathrm{d}=2,54 \mathrm{~cm}. Para satisfazer às necessidades da casa, a tubulação de suprimento deve ser capaz de distribuir água a uma taxa R=0,0012 m { }^{3} / \mathrm{s}.
(a) Se a água escoar com a vazão máxima, qual será a pressão na tubulação horizontal?
(b) Uma tubulação menor, com diâmetro \mathrm{d}^{\prime}=1,25 \mathrm{~cm}, abastece o terceiro andar da casa, a uma altura de 5,6 \mathrm{~m} acima do nível do solo. Quais os valores da velocidade do escoamento e da pressão da água nesta tubulação? Despreze a viscosidade da água.
(c) Faça uma pequena representação de um projeto hidráulico que explique a situação, coloque uma válvula de segurança na entrada de água na casa.

Passo 1

O enunciado descreve uma caixa d’água com superfície livre a z=22{,}0 m abastecendo uma tubulação horizontal de diâmetro d=2{,}54 cm que deve fornecer vazão R=0{,}0012 m^{3}/s. Depois, desse mesmo ramal sai um trecho vertical até z=5{,}6 m com diâmetro d'=1{,}25 cm. Vamos usar a equação de Bernoulli entre a superfície livre (onde P\approx0, v\approx0, z=22{,}0) e cada ponto da tubulação, desprezando perdas por viscosidade. Precisaremos calcular as áreas, velocidades, “carga de velocidade” v^2/(2g) e converter tudo em pressão P=\rho g\,h_{\text{carga}}.

Passo 2

Calcule a área da seção e a velocidade no trecho horizontal:
A_1 = \pi\bigl(\tfrac{0{,}0254}{2}\bigr)^{2} \approx 5{,}07\times10^{-4}\text{ m}^{2},
v_1 = \frac{R}{A_1} = \frac{0{,}0012}{5{,}07\times10^{-4}} \approx 2{,}366\text{ m/s},
\frac{v_1^{2}}{2g} = \frac{(2{,}366)^{2}}{2\cdot9{,}8} \approx 0{,}286\text{ m}.
A “carga útil” restante é
h_{1} = 22{,}0 - 0{,}286 = 21{,}714\text{ m}.

Passo 3

Converta essa carga em pressão:
P_1 = \rho\,g\,h_{1} = 1000\cdot9{,}8\cdot21{,}714 \approx 2{,}13\times10^{5}\text{ Pa}.

Passo 4

Para o ramal até z=5{,}6 m, área e velocidade:
A_2 = \pi\bigl(\tfrac{0{,}0125}{2}\bigr)^{2} \approx 1{,}227\times10^{-4}\text{ m}^{2},
v_2 = \frac{R}{A_2} = \frac{0{,}0012}{1{,}227\times10^{-4}} \approx 9{,}78\text{ m/s},
\frac{v_2^{2}}{2g} = \frac{(9{,}78)^{2}}{2\cdot9{,}8} \approx 4{,}877\text{ m}.
A carga disponível até z=5{,}6 m é
h_{2} = (22{,}0 - 5{,}6) - 4{,}877 = 11{,}523\text{ m}.

Passo 5

Converta em pressão:
P_2 = 1000\cdot9{,}8\cdot11{,}523 \approx 1{,}13\times10^{5}\text{ Pa}.

Passo 6

Esquema hidráulico em ASCII (vista lateral):
Superfície da água (z =22,0 m)

| |
| | ← Caixa d’água D =4,0 m
|___|
|
| (d =2,54 cm)

┌──────────────┐
│ Válvula de │
│ segurança │
└──────────────┘
|
|──────────────────────→ Trecho horizontal
| v \approx 2,37 m/s, P \approx 2,13\times 10^{5} Pa

Tubo Ribeira

├───→ Ramo vertical até 3.º andar (z =5,6 m)
│ d′ =1,25 cm, v \approx 9,78 m/s, P \approx 1,13\times 10^{5} Pa

Consumo no 3.º andar

Resposta

(a) P_1\approx2{,}13\times10^{5} Pa.
(b) v_2\approx9{,}78 m/s e P_2\approx1{,}13\times10^{5} Pa.
(c) Veja o esquema ASCII no Passo 6, com válvula de segurança na entrada da casa.

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