Dois riachos, A e B, que se unem para formar um rio. O riacho A tem largura de 2,0 \mathrm{~m}, profundidade de 0,50 \mathrm{~m} e a água flui com velocidade de 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O riacho B tem largura de 3,0 \mathrm{~m}, profundidade de 1,0 \mathrm{me}, nesse riacho, a água flui a 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a profundidade do rio, sabendo que sua largura é de 5,0 \mathrm{~m} e que a velocidade de suas águas é de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Faça uma figura esquemática da situação.

Passo 1

O enunciado apresenta dois riachos A e B que se unem em um rio maior. O conteúdo é a equação da continuidade para fluidos incompressíveis, que diz que a vazão volumétrica total que entra é igual à vazão que sai. Vamos precisar calcular as vazões de A e B usando
Q = \text{área da seção} \times \text{velocidade},áçã
somar essas vazões e depois usar a mesma fórmula para o rio principal, despejando Q_{\text{total}}, a largura e a velocidade para achar a profundidade desconhecida.

Passo 2

Calculamos a vazão em A. A seção de A tem largura 2{,}0 m e profundidade 0{,}50 m, logo
\text{área}_A = 2{,}0 \times 0{,}50 = 1{,}0\\ \text{m}^2.á
Como a velocidade é 4{,}0 m/s,
Q_A = 1{,}0 \times 4{,}0 = 4{,}0\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 3

Calculamos a vazão em B. A seção de B tem largura 3{,}0 m e profundidade 1{,}0 m, logo
\text{área}_B = 3{,}0 \times 1{,}0 = 3{,}0\\ \text{m}^2.á
Como a velocidade é 2{,}0 m/s,
Q_B = 3{,}0 \times 2{,}0 = 6{,}0\\ \text{m}^3/\text{s}.
A vazão total que chega ao rio é
Q_{\text{total}} = Q_A + Q_B = 4{,}0 + 6{,}0 = 10{,}0\\ \text{m}^3/\text{s}.

Passo 4

No rio formado, a largura é 5{,}0 m e a velocidade é 2{,}5 m/s. Pela continuidade,
Q_{\text{total}} = \text{área}_{\text{rio}} \times 2{,}5.á
Como \text{área}_{\text{rio}} = 5{,}0 \times há, temos
10{,}0 = (5{,}0 \times h)\times 2{,}5 \quad\Longrightarrow\quad 5{,}0 \times 2{,}5 \times h = 10{,}0 \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{10{,}0}{5{,}0 \times 2{,}5} = 0{,}80\\ \text{m}.

Passo 5

Esquema da situação (vista em planta com valores de largura, profundidade e velocidade):
Riacho A Riacho B
┌───────────┐ ┌────────────┐
│ largura = │ │ largura = │
│ 2,0 m │ │ 3,0 m │
│ profund. │ │ profund. │
│ 0,50 m │ │ 1,0 m │
│ v =4,0 m/s│ │ v =2,0 m/s │
└───────────┘ └────────────┘
\ /
\ /
\ /
\ largura =5,0 m /
\ /
┌──────────┐
│ profund. │
│ h = ? │
│ v =2,5 m/s │
└──────────┘

Resposta

A profundidade do rio é 0{,}80 m.

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