Chegou em nossa região uma frente fria trazendo ventos de 108 \mathrm{~km} / \mathrm{h} na qual foi destruído o telhado do ginásio da universidade local, e, segundo engenheiros da própria universidade, a estrutura destruída “pesa” aproximadamente 50 toneladas". Uma explicação para o fenômeno seria considerar uma diminuição da pressão atmosférica, devida ao vento, na parte superior do telhado. Para um escoamento de ar ideal, essa redução da pressão é dada por \rho \mathrm{V} 2 / 2, onde \rho=1,10 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 é a densidade do ar e V a velocidade do vento.
Considere que o telhado do ginásio tem 1.000 m 2 de área e que estava apenas apoiado nas paredes.
a) Calcule a variação da pressão externa devida ao vento
b) Quantas toneladas poderiam ser levantadas pela força devida a esse vento?
c) Qual a menor velocidade do vento ( \mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{h} ) que levantaria o telhado?

Passo 1

O enunciado nos dá um vento de 108, \mathrm{km/h} soprando sobre o telhado de área A=1000, \mathrm{m^2}. A densidade do ar é \rho=1,10, \mathrm{kg/m^3} e o peso do telhado é cerca de 50,toneladas m\approx50000, \mathrm{kg}. Vamos usar a fórmula da redução de pressão em escoamento ideal,
\Delta p = \frac{\rho V^2}{2},
depois calcular a força F=\Delta p\,A e a massa equivalente que essa força sustenta, e finalmente achar a velocidade mínima V que gera F\ge mg.

Passo 2

Primeiro convertemos a velocidade para o SI:
V = 108\;\mathrm{km/h} \times \frac{1000}{3600} = 30\;\mathrm{m/s}.
Então
\Delta p = \frac{\rho V^2}{2} = \frac{1{,}10 \times 30^2}{2} = \frac{1{,}10 \times 900}{2} = 495\;\mathrm{Pa}.

Passo 3

A força total do vento sobre o telhado é
F = \Delta p \, A = 495\;\mathrm{Pa} \times 1000\;\mathrm{m^2} = 4{,}95\times10^5\;\mathrm{N}.
Convertendo em massa suportada, com g=9{,}8, \mathrm{m/s^2}:
m = \frac{F}{g} = \frac{4{,}95\times10^5}{9{,}8} \approx 50510\;\mathrm{kg} \approx 50{,}5\;\mathrm{toneladas}.

Passo 4

Para achar a menor V que levanta m=50000, \mathrm{kg}, exigimos
\frac{\rho V^2}{2}\,A = m g \quad\Longrightarrow\quad V = \sqrt{\frac{2\,m\,g}{\rho\,A}} = \sqrt{\frac{2\times50000\times9{,}8}{1{,}10\times1000}} \approx 29{,}8\;\mathrm{m/s}.
Convertendo para \mathrm{km/h}:
V \approx 29{,}8\times3{,}6 \approx 107{,}4\;\mathrm{km/h}.

Resposta

a) \Delta p = 495\;\mathrm{Pa}.
b) Aproximadamente 50{,}5 toneladas.
c) Cerca de 107{,}4\;\mathrm{km/h}.

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