Uma fina folha metálica separa dois ambientes. A superfície de uma das faces ( \varepsilon=\alpha=0,9 ) da folha metálica troca calor por radiação com uma grande chapa a 150^{\circ} \mathrm{C}. A superfície da outra face ( \varepsilon=\alpha=0,9 ) da folha metálica troca calor por radiação com outra grande chapa a 35^{\circ} \mathrm{C} e, troca calor por convecção com um líquido, em movimento, a 35^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que a temperatura da folha metálica é igual a 350 K, determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção.

Passo 1

O enunciado descreve a seguinte situação e pede o coeficiente de convecção:
  • Uma folha metálica fina tem temperatura uniforme \,T_{\text{folha}}=350\\ \mathrm{K}.
  • A face 1 da folha (emissividade e absorvidade \,\varepsilon=\alpha=0,9) troca calor por radiação com uma grande chapa a 150^\circ\mathrm{C}.
  • A face 2 da folha (mesma \varepsilon=\alpha=0,9) troca calor por radiação com outra grande chapa a 35^\circ\mathrm{C} e, adicionalmente, troca calor por convecção com um líquido em movimento à mesma temperatura 35^\circ\mathrm{C}.
  • Converter temperaturas para Kelvin: T_{\text{quente}}=150^\circ\mathrm{C}=423\\ \mathrm{K},\qquad T_{\text{frio}}=35^\circ\mathrm{C}=308\\ \mathrm{K}.
  • Dados dados/assunções usadas (não fornecidos explicitamente no enunciado, razoáveis para este tipo de problema):
    • A “grande chapa” comporta-se como corpo negro efetivo (emissividade \,1), de modo que a resistência radiativa é dominada pela folha. Vou explicar e justificar isso no passo seguinte.
  • Objetivo final: determinar o coeficiente de transferência de calor por convecção \,h entre a folha e o líquido.

Passo 2

Entendimento físico e fórmula básica de radiação entre superfícies grandes/planas:
  • Quando uma superfície cinza (emissividade \varepsilon) troca radiação com uma grande chapa que pode ser considerada como corpo negro ( \varepsilon_{\text{chapa}}=1), a troca líquida por unidade de área é dada por
q_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\left(T_{\text{sup}}^{4}-T_{\text{chapa}}^{4}\right),
onde:
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann: \displaystyle \sigma=5,670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}};
  • T_{\text{sup}} é a temperatura da superfície considerada (em K);
  • T_{\text{chapa}} é a temperatura da chapa (em K);
  • o sinal determina a direção do fluxo (positivo se sai calor da chapa quente para a superfície mais fria, por exemplo).
  • Por que podemos usar esta fórmula simples? Em geral a troca radiativa entre duas superfícies planas paralelas com emissividades \varepsilon_1 e \varepsilon_2 é
q=\frac{\sigma\left(T_1^4-T_2^4\right)}{\displaystyle\frac{1}{\varepsilon_1}+\frac{1}{\varepsilon_2}-1}.
Se uma das superfícies (a chapa grande) tem \varepsilon_2=1, o denominador vira 1/\varepsilon_1 e obtemos q=\varepsilon_1\sigma(T_1^4-T_2^4). Por isso utilizo essa forma.
  • No nosso caso, para a face 1 (lado quente) o fluxo recebido pela folha é
q_1=\varepsilon\,\sigma\left(T_{\text{quente}}^{4}-T_{\text{folha}}^{4}\right).
  • Para a face 2, parte da energia sai por radiação para a chapa fria e parte sai por convecção para o líquido. A radiação da face 2 é
q_{2,\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\left(T_{\text{folha}}^{4}-T_{\text{frio}}^{4}\right).
  • A convecção da face 2 é modelada por a lei de Newton do resfriamento:
q_{\text{conv}}=h\left(T_{\text{folha}}-T_{\text{frio}}\right),
onde h é o que queremos encontrar.
  • Em regime estacionário (folha fina, sem geração interna, temperatura da folha uniforme) a soma dos fluxos que entram e saem deve zerar. Tomando positivos os fluxos que saem da chapa quente e chegam à folha:
q_1 = q_{2,\text{rad}} + q_{\text{conv}}.
Dessa relação isolamos h:
h=\frac{q_1-q_{2,\text{rad}}}{T_{\text{folha}}-T_{\text{frio}}}.

Passo 3

Calcular numericamente q_1=\varepsilon\,\sigma\left(T_{\text{quente}}^{4}-T_{\text{folha}}^{4}\right).
  • Primeiro calcule os quadrados: T_{\text{quente}}^{2}=423^{2}=178\,929,\qquad T_{\text{folha}}^{2}=350^{2}=122\,500.
  • Use a identidade a^{4}-b^{4}=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}) para evitar números enormes: T_{\text{quente}}^{4}-T_{\text{folha}}^{4}=(178\,929-122\,500)\,(178\,929+122\,500)=56\,429\cdot301\,429=17\,009\,337\,041.
  • Agora multiplique por \sigma e por \varepsilon ( \varepsilon=0,9): \sigma\left(T_{\text{quente}}^{4}-T_{\text{folha}}^{4}\right)=5,670374419\times10^{-8}\times17\,009\,337\,041\approx964,4931\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
q_1=\varepsilon\times 964,4931\approx0,9\times964,4931=868,044\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 4

Calcular numericamente q_{2,\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\left(T_{\text{folha}}^{4}-T_{\text{frio}}^{4}\right).
  • Quadrados: T_{\text{folha}}^{2}=350^{2}=122\,500,\qquad T_{\text{frio}}^{2}=308^{2}=94\,864.
  • Diferença de quartas: T_{\text{folha}}^{4}-T_{\text{frio}}^{4}=(122\,500-94\,864)(122\,500+94\,864)=27\,636\cdot217\,364=6\,007\,071\,504.
  • Multiplicando por \sigma e por \varepsilon: \sigma\left(T_{\text{folha}}^{4}-T_{\text{frio}}^{4}\right)=5,670374419\times10^{-8}\times6\,007\,071\,504\approx340,6234\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
q_{2,\text{rad}}=\varepsilon\times340,6234\approx0,9\times340,6234=306,5611\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 5

Calcular o fluxo convectivo disponível e, em seguida, o coeficiente h.
  • O fluxo convectivo é a diferença entre o que chega da face quente e o que sai por radiação para a chapa fria: q_{\text{conv}}=q_1-q_{2,\text{rad}}=868,044-306,5611=561,4829\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.
  • A diferença de temperatura entre folha e fluido é \Delta T=T_{\text{folha}}-T_{\text{frio}}=350-308=42\\ \mathrm{K}.
  • Finalmente, usando q_{\text{conv}}=h\,\Delta T, h=\frac{q_{\text{conv}}}{\Delta T}=\frac{561,4829}{42}\approx13,3696\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Passo 6

Interpretação e observação final:
  • Assim, usando a suposição razoável de que as chapas grandes se comportam como corpos de emissividade igual a 1, obtemos h\approx13,37\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.
  • Se a chapa fria ou quente não fosse aproximadamente corpo negro (ou tivesse emissividade diferente de 1), a expressão radiativa mudaria e o valor de h seria diferente. Mas para “grandes chapas” é comum essa aproximação em exercícios.

Resposta

h\approx13{,}37\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}

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