A Caixa Econômica Federal concedeu um financiamento de \ 750.000 para a compra de um imóvel. Esse financiamento deverá ser liquidado em 30 anos em prestações mensais, calculadas de acordo com o Sistema de Amortização Constante (SAC). Sabendo-se que a taxa de juros é deóáçõçãé23,15 %$ ao ano, determine:
a) o valor amortizado em cada prestação.
b) o valor da 137^{\mathrm{a}} prestação.
c) o saldo devedor após pagar a 125^{\mathrm{a}} prestação.
d) o valor dos juros da 240^{\mathrm{a}} prestação.

Passo 1

O enunciado dá um financiamento e pede quatro coisas. Vou listar tudo claramente:
  • Valor financiado (principal): P = 750000.
  • Prazo: 30 anos em prestações mensais, ou seja n = 30\cdot 12 = 360 prestações.
  • Taxa de juros: 23{,}15\% ao ano.
  • Sistema: Sistema de Amortização Constante (SAC).
Perguntas:
a) Determinar o valor amortizado em cada prestação.
b) Determinar o valor da 137^{\mathrm{a}} prestação.
c) Determinar o saldo devedor após pagar a 125^{\mathrm{a}} prestação.
d) Determinar o valor dos juros da 240^{\mathrm{a}} prestação.
Essas são todas as informações do enunciado; a resolução começa agora.

Passo 2

Primeiro conceito importante — como funciona o SAC (explicação didática e fórmula):
  • No SAC a parte do principal amortizada em cada prestação é constante ao longo do tempo. Ou seja, em cada mês eu “abato” a mesma quantia do principal.
  • Se o principal é P e o número de prestações é n, a amortização fixa por prestação, que chamaremos de A, é dada por:
A=\frac{P}{n}.
  • Além dessa amortização A, cada prestação tem juros sobre o saldo devedor do período anterior. Se a taxa de juros mensal for i, e o saldo devedor no início do mês k for S_{k-1}, então os juros do mês k são J_k = i\cdot S_{k-1} e a prestação total é R_k = A + J_k.
  • O saldo devedor no início do mês k (ou seja, após k-1 amortizações) é
S_{k-1}=P-(k-1)A.
Vou aplicar essas fórmulas ao nosso caso. Se em algum passo eu uso uma fórmula, eu a expliquei aqui.

Passo 3

Conversão da taxa anual para taxa mensal (explicação):
  • O enunciado dá 23{,}15\% ao ano. Em muitos exercícios práticos de financiamento (e aqui adotaremos isso) usa-se a taxa nominal anual convertida para taxa mensal dividindo por 12. Portanto a taxa mensal é
i=\frac{0{,}2315}{12}=0{,}019291666\ldots
ou seja aproximadamente i=0{,}019291666 (que equivale a 1{,}9291666\% ao mês). Vou usar essa taxa mensal nas contas seguintes. (Se fosse pedido usar taxa efetiva mensal a partir de capitalização composta anual, usaríamos i=(1+0{,}2315)^{1/12}-1, mas aqui adotamos a conversão direta por divisão, que é a prática padrão em muitos exercícios de SAC.)

Passo 4

(a) Calcular a amortização constante A.
  • Usando a fórmula A=\dfrac{P}{n}:
A=\frac{750000}{360}=\frac{12500}{6}=2083{,}333\ldots
  • Arredondando para centavos (modo usual quando falamos de dinheiro), obtemos
A \approx 2083{,}33.
Explicação rápida: isso significa que em cada prestação uma parte fixa de \,2083{,}33 \, corresponde à amortização do principal; os juros variam ao longo do tempo conforme o saldo devedor.

Passo 5

(b) Calcular a 137^{\mathrm{a}} prestação R_{137}.
  • Primeiro determinamos o saldo imediatamente antes de pagar a 137^{\mathrm{a}} prestação. Antes da prestação k já foram pagas k-1 amortizações, logo para k=137 temos:
S_{136}=P-136A.
  • Substituindo P=750000 e A=\dfrac{750000}{360}:
S_{136}=750000-136\cdot\frac{750000}{360}=750000\left(1-\frac{136}{360}\right).
  • Calcule a fração 1-\dfrac{136}{360}=\dfrac{360-136}{360}=\dfrac{224}{360}=\dfrac{28}{45}. Assim
S_{136}=750000\cdot\frac{28}{45}=466666{,}666\ldots
  • Os juros da 137^{\mathrm{a}} prestação são
J_{137}=i\cdot S_{136}=\frac{0{,}2315}{12}\cdot 466666{,}666\ldots
  • Calcule numericamente: primeiro 750000\cdot\frac{0{,}2315}{12}=14468{,}75. Multiplicando por \dfrac{28}{45} (porque S_{136}=750000\cdot\frac{28}{45}) obtemos
J_{137}=14468{,}75\cdot\frac{28}{45}=9002{,}777\ldots
  • Arredondando para centavos:
J_{137}\approx 9002{,}78.
  • A prestação total R_{137} é A+J_{137}:
R_{137}=2083{,}333\ldots + 9002{,}777\ldots =11086{,}111\ldots
  • Arredondando para centavos:
R_{137}\approx 11086{,}11.

Passo 6

(c) Saldo devedor após pagar a 125^{\mathrm{a}} prestação.
  • Após pagar a 125^{\mathrm{a}} prestação já foram amortizados 125 parcelas de principal, portanto o saldo remanescente é
S_{125}=P-125A.
  • Usando A=\dfrac{750000}{360},
S_{125}=750000\left(1-\frac{125}{360}\right)=750000\cdot\frac{235}{360}.
  • Simplificando \dfrac{235}{360}=\dfrac{47}{72}, então
S_{125}=750000\cdot\frac{47}{72}=489583{,}333\ldots
  • Arredondando para centavos:
S_{125}\approx 489583{,}33.

Passo 7

(d) Juros da 240^{\mathrm{a}} prestação.
  • Os juros da prestação k são J_k=i\cdot S_{k-1}. Para k=240 usamos S_{239}:
S_{239}=P-239A=750000\left(1-\frac{239}{360}\right)=750000\cdot\frac{121}{360}.
  • Calcule S_{239}:
S_{239}=750000\cdot\frac{121}{360}=252083{,}333\ldots
  • Então os juros da 240^{\mathrm{a}} prestação são
J_{240}=i\cdot S_{239}=\frac{0{,}2315}{12}\cdot 252083{,}333\ldots
  • Numérico: como antes 750000\cdot\frac{0{,}2315}{12}=14468{,}75; multiplicando por \dfrac{121}{360}
J_{240}=14468{,}75\cdot\frac{121}{360}=4863{,}1076389\ldots
  • Arredondando para centavos:
J_{240}\approx 4863{,}11.

Resposta

a) 2083{,}33
b) 11086{,}11
c) 489583{,}33
d) 4863{,}11

Exercícios relacionados