A compra de uma casa no centro de Angicos, no valor de \ 150.000 , deve ser paga em cinco parcelas anuais com juros de11 %$ a.a. Pede-se para construir o demonstrativo da evolução da dívida, mostrando o valor da parcela (quando houver), o valor dos juros, o valor da amortização e do saldo devedor ao final de cada período pelo sistema Price.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Valor da casa (dívida inicial): \$150\,000,00.
  • Número de parcelas (anuais): 5.
  • Taxa de juros anual: 11\% a.a. (ou seja, i=0,11 por período).
  • Pede-se: construir o demonstrativo da evolução da dívida pelo sistema Price, mostrando, para cada ano, o valor da parcela (quando houver), o valor dos juros daquele período, o valor da amortização (parcela que efetivamente reduz o principal) e o saldo devedor ao final de cada período.

Passo 2

O que é o sistema Price (breve e didático): no sistema Price as parcelas são constantes (o mesmo valor anual) e cada parcela é composta de juros sobre o saldo devedor e de uma amortização que cresce com o tempo. A fórmula para a parcela constante A é a da anuidade:
A = P \cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}
onde:
  • P é o valor presente ou principal (a dívida inicial), aqui P= \$150\,000,00.
  • i é a taxa de juros por período, aqui i= 0,11.
  • n é o número de períodos (parcelas), aqui n= 5.
  • A é o valor da parcela fixa que vamos calcular.
Vou explicar a lógica da tabela que vamos montar: chamando o saldo no início do período B_{k-1} (saldo antes do pagamento do período k),
  • juros do período k: J_k = B_{k-1}\cdot i;
  • amortização do período k: M_k = A - J_k;
  • saldo ao final do período k: B_k = B_{k-1} - M_k.

Passo 3

Calcular a parcela constante A. Primeiro calculamos (1+i)^n.
(1+i)^5 = (1{,}11)^5 \approx 1{,}6850692551.
Agora aplicamos a fórmula da anuidade:
A = 150\,000 \cdot \frac{0{,}11}{1-(1{,}11)^{-5}}.
Uma forma numérica equivalente (às vezes mais estável) é
A = 150\,000 \cdot \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}.
Substituindo:
A \approx 150\,000 \cdot \frac{0{,}11\cdot 1{,}6850692551}{1{,}6850692551-1} = 150\,000 \cdot \frac{0{,}18535761706}{0{,}6850692551} \approx 40\,573{,}54.
Portanto a parcela anual constante, arredondada a centavos, é \$40\,573{,}54.
(Obs.: por causa de arredondamentos centesimais em cada linha da tabela, no último período pode haver uma pequena diferença residual; explico e corrijo isso adiante.)

Passo 4

Regra prática para montar cada linha da tabela (vou acompanhar passo a passo, com números):
  • Saldo inicial do período 1: B_0= \$150\,000{,}00.
  • Para cada período k=1,\dots,5:
    • calcular juros J_k = B_{k-1}\cdot 0{,}11,
    • amortização M_k = A - J_k (quando a parcela for a parcela padrão),
    • saldo final B_k = B_{k-1} - M_k.
Vou calcular mantendo 2 casas decimais (centavos) em cada valor monetário, que é o procedimento prático em exercícios e em contabilidade financeira. No final ajustarei o pagamento final, se necessário, para zerar o saldo.

Passo 5

Período 1:
  • Saldo inicial: B_0= \$150\,000{,}00.
  • Juros: J_1 = B_0\cdot 0{,}11 = 150\,000{,}00\cdot 0{,}11 = 16\,500{,}00.
  • Parcela (constante): A= \$40\,573{,}54.
  • Amortização: M_1 = A - J_1 = 40\,573{,}54 - 16\,500{,}00 = 24\,073{,}54.
  • Saldo final do período 1: B_1 = B_0 - M_1 = 150\,000{,}00 - 24\,073{,}54 = 125\,926{,}46.

Passo 6

Período 2:
  • Saldo inicial: B_1= \$125\,926{,}46.
  • Juros: J_2 = B_1\cdot 0{,}11 = 125\,926{,}46\cdot 0{,}11 = 13\,851{,}91 \quad(\text{arredondando para centavos}).
  • Parcela: A= \$40\,573{,}54.
  • Amortização: M_2 = A - J_2 = 40\,573{,}54 - 13\,851{,}91 = 26\,721{,}63.
  • Saldo final do período 2: B_2 = B_1 - M_2 = 125\,926{,}46 - 26\,721{,}63 = 99\,204{,}83.

Passo 7

Período 3:
  • Saldo inicial: B_2= \$99\,204{,}83.
  • Juros: J_3 = B_2\cdot 0{,}11 = 99\,204{,}83\cdot 0{,}11 = 10\,912{,}53.
  • Parcela: A= \$40\,573{,}54.
  • Amortização: M_3 = A - J_3 = 40\,573{,}54 - 10\,912{,}53 = 29\,661{,}01.
  • Saldo final do período 3: B_3 = B_2 - M_3 = 99\,204{,}83 - 29\,661{,}01 = 69\,543{,}82.

Passo 8

Período 4:
  • Saldo inicial: B_3= \$69\,543{,}82.
  • Juros: J_4 = B_3\cdot 0{,}11 = 69\,543{,}82\cdot 0{,}11 = 7\,649{,}82.
  • Parcela: A= \$40\,573{,}54.
  • Amortização: M_4 = A - J_4 = 40\,573{,}54 - 7\,649{,}82 = 32\,923{,}72.
  • Saldo final do período 4: B_4 = B_3 - M_4 = 69\,543{,}82 - 32\,923{,}72 = 36\,620{,}10.

Passo 9

Período 5 (último):
  • Saldo inicial: B_4= \$36\,620{,}10.
  • Juros do período 5: J_5 = B_4\cdot 0{,}11 = 36\,620{,}10\cdot 0{,}11 = 4\,028{,}21.
Se mantivermos a parcela padrão A= \$40\,573{,}54, então:
  • Amortização (se mantivermos A): M_5 = A - J_5 = 40\,573{,}54 - 4\,028{,}21 = 36\,545{,}33.
  • Saldo final (mantendo A): B_5 = B_4 - M_5 = 36\,620{,}10 - 36\,545{,}33 = 74{,}77.
Perceba que pela aritmética com arredondamentos centesimais aparece um pequeno saldo residual de \$74{,}77. Na prática financeira costuma-se fazer um ajuste na última parcela para zerar exatamente o saldo. Portanto ajustamos a última parcela para pagar exatamente o principal restante mais os juros do período 5:
  • Parcela final ajustada: A_5 = J_5 + B_4 = 4\,028{,}21 + 36\,620{,}10 = 40\,648{,}31,
  • amortização final ajustada: M_5' = B_4 = 36\,620{,}10,
  • saldo final após pagamento ajustado: B_5' = 0{,}00.
Esse ajuste é comum e corrige o efeito dos arredondamentos mantando a lógica do sistema Price (parcelas iguais, salvo ajuste final).

Passo 10

Resumo final (tabela resumida das linhas calculadas). Vou apresentar a tabela ano a ano com o valor da parcela (onde a última foi ajustada para zerar o saldo), juros, amortização e saldo ao final do período. Todos os valores em reais com duas casas decimais.
  • Ano 1: Parcela \$40\,573{,}54; Juros \$16\,500{,}00; Amortização \$24\,073{,}54; Saldo final \$125\,926{,}46.
  • Ano 2: Parcela \$40\,573{,}54; Juros \$13\,851{,}91; Amortização \$26\,721{,}63; Saldo final \$99\,204{,}83.
  • Ano 3: Parcela \$40\,573{,}54; Juros \$10\,912{,}53; Amortização \$29\,661{,}01; Saldo final \$69\,543{,}82.
  • Ano 4: Parcela \$40\,573{,}54; Juros \$7\,649{,}82; Amortização \$32\,923{,}72; Saldo final \$36\,620{,}10.
  • Ano 5 (ajustada): Parcela \$40\,648{,}31; Juros \$4\,028{,}21; Amortização \$36\,620{,}10; Saldo final \$0{,}00.

Resposta

Ano 1: Parcela \$40\,573{,}54; Juros \$16\,500{,}00; Amortização \$24\,073{,}54; Saldo final \$125\,926{,}46.\n
Ano 2: Parcela \$40\,573{,}54; Juros \$13\,851{,}91; Amortização \$26\,721{,}63; Saldo final \$99\,204{,}83.\n
Ano 3: Parcela \$40\,573{,}54; Juros \$10\,912{,}53; Amortização \$29\,661{,}01; Saldo final \$69\,543{,}82.\n
Ano 4: Parcela \$40\,573{,}54; Juros \$7\,649{,}82; Amortização \$32\,923{,}72; Saldo final \$36\,620{,}10.\n
Ano 5: Parcela \$40\,648{,}31; Juros \$4\,028{,}21; Amortização \$36\,620{,}10; Saldo final \$0{,}00.

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