Uma empresa de confecção de meias está mudando o maquinário que usa na fabricação de seus produtos. Assim, está analisando duas propostas de fornecedores diferentes. A 1^{\circ} proposta se refere a venda da máquina Vortex por $200.000,00 e com ela, a empresa terá uma economia de 25 \%em cada peça produzida. A 2^{\circ}proposta se refere a venda da máquina Blindez por \115.000,00 e com ela, a empresa terá uma economia deá20 % em cada peça produzida. Sabendo que o custo de fabricação de cada meia é \ççãé 7,50 e que são produzidos em média 15 mil peças por mês; calcule o PayBack Simples (em meses) para cada proposta e informe quantas meias a empresa terá que fabricar para conseguir o investimento de volta nas duas máquinas. Ao final, escolha qual máquina a empresa deverá comprar.

Passo 1

O enunciado dá duas propostas de compra de máquina e pede o PayBack Simples em meses para cada proposta, além de quantas meias precisam ser fabricadas para recuperar o investimento em cada caso. Dados fornecidos:
\text{Custo por meia} = \$7{,}50
\text{Produção média por mês} = 15.000\\ \text{meias}çãéê
Proposta 1 (máquina Vortex):
\text{Investimento } I_1 = \$200.000{,}00
\text{Economia por peça} = 25\%ç
Proposta 2 (máquina Blindez):
\text{Investimento } I_2 = \$115.000{,}00
\text{Economia por peça} = 20\%ç

Passo 2

O que é PayBack Simples e quais fórmulas vamos usar (explicação passo a passo):
  • PayBack Simples mede quanto tempo (em meses, aqui) leva para o investimento inicial ser “pago” pelas economias geradas.
  • Vamos calcular primeiro a economia por peça, depois a economia mensal, e daí o número de meses para recuperar o investimento.
    Definições e fórmulas:
S_p = \text{economia por peça} \quad(\text{em \$})ç
q = \text{produção por mês} \quad(\text{em peças})çãêç
S_m = S_p \cdot q \quad\text{(economia por mês)}ê
\text{PayBack (meses)} = P = \frac{I}{S_m}
\text{Quantidade de meias necessárias para recuperar } = N = \frac{I}{S_p}á
Onde:
  • I é o investimento (em $),
  • S_p é a economia por peça (em $),
  • q é a quantidade produzida por mês (em peças),
  • S_m é a economia total por mês (em $),
  • P é o payback em meses,
  • N é o número de peças necessárias para recuperar o investimento.
Pequeno exemplo intuitivo (para fixar): se você investe \$100 e economiza \$10 por mês, então P=100/10=10 meses. Aqui fazemos o mesmo, só que a economia por mês vem de \text{economia por peça} \times \text{quantidade mensal}ç.

Passo 3

Calcular para a máquina Vortex (Proposta 1):
  1. Economia por peça:
S_{p1} = 25\% \times 7{,}50 = 0{,}25 \times 7{,}50 = 1{,}875\\ (\$)
Explanação: multiplicamos a porcentagem (como número decimal) pelo custo unitário para obter quanto deixamos de gastar em cada meia.
  1. Economia por mês:
S_{m1} = S_{p1} \times q = 1{,}875 \times 15.000 = 28.125\\ (\$ \text{ por mês})ê
Explicação: se cada peça gera \$1{,}875 de economia e fazemos 15.000 peças, multiplicamos para obter a economia mensal total.
  1. PayBack em meses:
P_1 = \frac{I_1}{S_{m1}} = \frac{200.000}{28.125} = 7{,}111\ldots\\ \text{meses}
Arredondando para duas casas decimais:
P_1 \approx 7{,}11\\ \text{meses}
Comentário: isso significa que em pouco mais de 7 meses a economia acumulada iguala o investimento.
  1. Número de meias necessárias:
N_1 = \frac{I_1}{S_{p1}} = \frac{200.000}{1{,}875} = 106.666{,}66\ldots\\ \text{meias}
Como não se produz fração de meia, precisamos fabricar pelo menos:
N_1^{\text{inteiro}} = 106.667\\ \text{meias}
Observação adicional: se quisermos contar meses inteiros (produzindo 15.000 meias por mês), então o número de meses inteiros necessário é
\left\lceil\frac{106.667}{15.000}\right\rceil = 8\\ \text{meses}
porque em 7 meses se produzem 7\times15.000=105.000 meias (ainda abaixo do necessário).

Passo 4

Calcular para a máquina Blindez (Proposta 2):
  1. Economia por peça:
S_{p2} = 20\% \times 7{,}50 = 0{,}20 \times 7{,}50 = 1{,}50\\ (\$)
  1. Economia por mês:
S_{m2} = S_{p2} \times q = 1{,}50 \times 15.000 = 22.500\\ (\$ \text{ por mês})ê
  1. PayBack em meses:
P_2 = \frac{I_2}{S_{m2}} = \frac{115.000}{22.500} = 5{,}111\ldots\\ \text{meses}
Arredondando:
P_2 \approx 5{,}11\\ \text{meses}
  1. Número de meias necessárias:
N_2 = \frac{I_2}{S_{p2}} = \frac{115.000}{1{,}50} = 76.666{,}66\ldots\\ \text{meias}
Arredondando para um número inteiro de meias:
N_2^{\text{inteiro}} = 76.667\\ \text{meias}
Meses inteiros (produzindo 15.000 meias/mês):
\left\lceil\frac{76.667}{15.000}\right\rceil = 6\\ \text{meses}

Passo 5

Comparação final e escolha (explicando o raciocínio):
  • PayBack da Vortex: cerca de \,7{,}11 meses (ou 8 meses se contarmos meses inteiros), meias necessárias \,106.667.
  • PayBack da Blindez: cerca de \,5{,}11 meses (ou 6 meses inteiros), meias necessárias \,76.667.
Interpretação e recomendação: a máquina Blindez tem PayBack mais rápido (aprox. \,5{,}11 meses contra \,7{,}11 meses) e exige menos meias produzidas para recuperar o investimento. Se o objetivo principal da empresa for recuperar o capital o mais rápido possível (menor payback simples), a escolha recomendada é a máquina Blindez. Além disso, como a diferença de investimento inicial é grande ( \$200.000{,}00 vs \$115.000{,}00) e a economia por peça da Vortex não compensa esse maior custo no horizonte de curto prazo, Blindez é a opção mais prudente para retorno rápido.

Resposta

Vortex — PayBack simples \approx 7{,}11 meses (ou 8 meses inteiros); meias necessárias =106.667.
Blindez — PayBack simples \approx 5{,}11 meses (ou 6 meses inteiros); meias necessárias =76.667.
Escolha recomendada: comprar a máquina Blindez (recupera o investimento mais rápido).

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