Em uma caixa existem duas moedas. A probabilidade de sair cara quando lançadas é de 0,4 para a primeira moeda e 0,7 para a segunda. Suponha que uma das moedas tenha sido selecionada ao acaso e lançada 10 vezes. Qual o número esperado de lançamentos que resultarão em cara?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas moedas com probabilidades diferentes de dar cara. A primeira moeda tem 40% de chance de dar cara (
) e a segunda tem 70% de chance (
). A gente precisa descobrir qual é o número esperado de caras quando a gente escolhe uma moeda ao acaso e a lança 10 vezes.
Passo 2
Primeiro, como a moeda é escolhida ao acaso entre duas, cada uma tem 50% de chance de ser selecionada. Vamos chamar a primeira moeda de
e a segunda de
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade esperada de dar cara em um único lançamento, considerando a seleção aleatória da moeda. Usamos a regra da probabilidade total:
Substituindo os valores:
Então, cada lançamento tem 55% de chance de dar cara.
Passo 4
O número esperado de caras em 10 lançamentos é dado por:
Onde
. Substituindo:
Resposta
O número esperado de lançamentos que resultarão em cara é 5,5.