Demonstre as seguintes afirmações:
(a) Sejam 
  e 
  V.A. tais que 
 , com 
 , então 
 .
(b) Sejam 
  e 
  V.A. tais que 
 , com 
 , então 
 .
© Mostre que a recíproca das duas afirmações anteriores também são verdadeiras.
(a) Sejam
(b) Sejam
© Mostre que a recíproca das duas afirmações anteriores também são verdadeiras.
Passo 1
Então, temos um exercício de estatística que fala sobre variáveis aleatórias (V.A.) e o coeficiente de correlação 
 . Precisamos provar algumas afirmações sobre como 
  funciona quando uma variável é uma transformação linear da outra. Vamos usar conceitos de covariância e variância para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o coeficiente de correlação entre duas variáveis 
  e 
  é dado por:
Onde 
  é a covariância entre 
  e 
 , e 
  e 
  são os desvios padrão de 
  e 
 , respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos considerar a parte (a) onde 
  com 
 . Primeiro, calculamos a covariância 
 :
Como 
  e 
  (pois 
  é uma constante), temos:
Passo 4
Agora, calculamos os desvios padrão. Como 
 , a variância de 
  é:
Portanto, o desvio padrão de 
  é:
Como 
 , podemos escrever 
 .
Passo 5
Substituindo 
  e 
  na fórmula do coeficiente de correlação:
Então, quando 
 , 
 .
Passo 6
Para a parte (b), seguimos um raciocínio semelhante, mas agora com 
 . Calculamos novamente:
E o desvio padrão de 
  é:
Passo 7
Substituindo na fórmula do coeficiente de correlação:
Portanto, quando 
 , 
 .
Passo 8
Para a parte ©, precisamos mostrar que se 
 , então 
  com 
 , e se 
 , então 
  com 
 . Isso significa que a única maneira de ter correlação perfeita é por meio de uma transformação linear direta ou inversa.
Resposta
As afirmações (a) e (b) estão demonstradas conforme os passos acima, e a recíproca também é verdadeira conforme mostrado na parte ©.