Demonstre as seguintes afirmações:
(a) Sejam
e
V.A. tais que
, com
, então
.
(b) Sejam
e
V.A. tais que
, com
, então
.
© Mostre que a recíproca das duas afirmações anteriores também são verdadeiras.
(a) Sejam
(b) Sejam
© Mostre que a recíproca das duas afirmações anteriores também são verdadeiras.
Passo 1
Então, temos um exercício de estatística que fala sobre variáveis aleatórias (V.A.) e o coeficiente de correlação
. Precisamos provar algumas afirmações sobre como
funciona quando uma variável é uma transformação linear da outra. Vamos usar conceitos de covariância e variância para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o coeficiente de correlação entre duas variáveis
e
é dado por:
Onde
é a covariância entre
e
, e
e
são os desvios padrão de
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos considerar a parte (a) onde
com
. Primeiro, calculamos a covariância
:
Como
e
(pois
é uma constante), temos:
Passo 4
Agora, calculamos os desvios padrão. Como
, a variância de
é:
Portanto, o desvio padrão de
é:
Como
, podemos escrever
.
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula do coeficiente de correlação:
Então, quando
,
.
Passo 6
Para a parte (b), seguimos um raciocínio semelhante, mas agora com
. Calculamos novamente:
E o desvio padrão de
é:
Passo 7
Substituindo na fórmula do coeficiente de correlação:
Portanto, quando
,
.
Passo 8
Para a parte ©, precisamos mostrar que se
, então
com
, e se
, então
com
. Isso significa que a única maneira de ter correlação perfeita é por meio de uma transformação linear direta ou inversa.
Resposta
As afirmações (a) e (b) estão demonstradas conforme os passos acima, e a recíproca também é verdadeira conforme mostrado na parte ©.