Demonstre as seguintes afirmações:
(a) Sejam X e Y V.A. tais que Y=a X+b, com a>0, então rho(X, Y)=1.
(b) Sejam X e Y V.A. tais que Y=a X+b, com a<0, então rho(X, Y)=-1.
© Mostre que a recíproca das duas afirmações anteriores também são verdadeiras.

Passo 1

Então, temos um exercício de estatística que fala sobre variáveis aleatórias (V.A.) e o coeficiente de correlação rho. Precisamos provar algumas afirmações sobre como rho funciona quando uma variável é uma transformação linear da outra. Vamos usar conceitos de covariância e variância para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o coeficiente de correlação entre duas variáveis X e Y é dado por:
rho(X, Y) = Cov(X, Y)sigmaX sigmaY
Onde Cov(X, Y) é a covariância entre X e Y, e sigmaX e sigmaY são os desvios padrão de X e Y, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos considerar a parte (a) onde Y = aX + b com a > 0. Primeiro, calculamos a covariância Cov(X, Y):
Cov(X, Y) = Cov(X, aX + b) = a cdot Cov(X, X) + Cov(X, b)
Como Cov(X, X) = Var(X) e Cov(X, b) = 0 (pois b é uma constante), temos:
Cov(X, Y) = a cdot Var(X)

Passo 4

Agora, calculamos os desvios padrão. Como Y = aX + b, a variância de Y é:
Var(Y) = Var(aX + b) = a^2 cdot Var(X)
Portanto, o desvio padrão de Y é:
sigmaY = |a| cdot sigmaX
Como a > 0, podemos escrever sigmaY = a cdot sigmaX.

Passo 5

Substituindo Cov(X, Y) e sigmaY na fórmula do coeficiente de correlação:
rho(X, Y) = a cdot Var(X)sigmaX cdot a cdot sigmaX = a cdot sigmaX^2a cdot sigmaX^2 = 1
Então, quando a > 0, rho(X, Y) = 1.

Passo 6

Para a parte (b), seguimos um raciocínio semelhante, mas agora com a < 0. Calculamos novamente:
Cov(X, Y) = a cdot Var(X)
E o desvio padrão de Y é:
sigmaY = |a| cdot sigmaX = -a cdot sigmaX (já que a < 0) á

Passo 7

Substituindo na fórmula do coeficiente de correlação:
rho(X, Y) = a cdot Var(X)sigmaX cdot (-a) cdot sigmaX = a cdot sigmaX^2-a cdot sigmaX^2 = -1
Portanto, quando a < 0, rho(X, Y) = -1.

Passo 8

Para a parte ©, precisamos mostrar que se rho(X, Y) = 1, então Y = aX + b com a > 0, e se rho(X, Y) = -1, então Y = aX + b com a < 0. Isso significa que a única maneira de ter correlação perfeita é por meio de uma transformação linear direta ou inversa.

Resposta

As afirmações (a) e (b) estão demonstradas conforme os passos acima, e a recíproca também é verdadeira conforme mostrado na parte ©.

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