Um dado é jogado duas vezes. Seja
a soma das duas saídas e
o resultado da subtração entre o primeiro e o segundo lançamento.
(a) Calcule
(b)
e
são variáveis aleatórias independentes? Justifique.
(a) Calcule
(b)
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente joga um dado duas vezes, chama de
o resultado do primeiro lançamento e de
o do segundo. Definimos duas variáveis aleatórias:
-
(a soma) -
(a diferença)
O conteúdo aqui é probabilidade básica: expectativa, covariância e independência de variáveis aleatórias. Para resolver a parte (a) a gente vai usar a definição
e precisaremos calcular
,
e
. Na parte (b) a gente vai lembrar a definição de variáveis independentes e dar um contra-exemplo mostrando que
e
não são independentes.
Passo 2
Primeiro vamos achar as expectativas de
e
. Como o dado é justo e tem faces
, cada uma com prob.\
, temos
Então
Aqui usamos a propriedade
.
Passo 3
Agora precisamos de
. Escreve:
Como
e
são independentes mas idênticos,
e o mesmo vale para
. Logo
Agora a covariância:
Passo 4
Covariância zero não garante independência. Para mostrar que
e
não são independentes, basta achar um par
tal que
Toma
e
.
-
é a prob.\ de , ou seja, 6 casos iguais em 36 totais: . -
é a prob.\ de , que também dá 6 combinações favoráveis em 36: .
Logo.
Porém, para tere ao mesmo tempo precisaríamos de
o que não tem solução em
. Logo
Isso prova que não são independentes.
Resposta
(a) .
(b) Não são independentes, pois por exemplo
(b) Não são independentes, pois por exemplo