Um dado é jogado duas vezes. Seja 
  a soma das duas saídas e 
  o resultado da subtração entre o primeiro e o segundo lançamento.
(a) Calcule 
(b) 
  e 
  são variáveis aleatórias independentes? Justifique.
(a) Calcule
(b)
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente joga um dado duas vezes, chama de 
  o resultado do primeiro lançamento e de 
  o do segundo. Definimos duas variáveis aleatórias:
- 
(a soma)  - 
(a diferença)  
O conteúdo aqui é probabilidade básica: expectativa, covariância e independência de variáveis aleatórias. Para resolver a parte (a) a gente vai usar a definição
e precisaremos calcular 
 , 
  e 
 . Na parte (b) a gente vai lembrar a definição de variáveis independentes e dar um contra-exemplo mostrando que 
  e 
  não são independentes.
Passo 2
Primeiro vamos achar as expectativas de 
  e 
 . Como o dado é justo e tem faces 
 , cada uma com prob.\ 
 , temos
Então
Aqui usamos a propriedade 
 .
Passo 3
Agora precisamos de 
 . Escreve:
Como 
  e 
  são independentes mas idênticos,
e o mesmo vale para 
 . Logo
Agora a covariância:
Passo 4
Covariância zero não garante independência. Para mostrar que 
  e 
  não são independentes, basta achar um par 
  tal que
Toma 
  e 
 .
- 
é a prob.\ de , ou seja, 6 casos iguais em 36 totais: .  - 
é a prob.\ de , que também dá 6 combinações favoráveis em 36: . 
Logo. 
Porém, para tere ao mesmo tempo precisaríamos de  
o que não tem solução em 
 . Logo
Isso prova que não são independentes.
Resposta
(a) .
(b) Não são independentes, pois por exemplo
(b) Não são independentes, pois por exemplo