Um dado é jogado duas vezes. Seja X a soma das duas saídas e Y o resultado da subtração entre o primeiro e o segundo lançamento.
(a) Calcule Cov(X, Y)
(b) X e Y são variáveis aleatórias independentes? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente joga um dado duas vezes, chama de Cov(X,Y) ;=; E[XY] ;-; E[X],E[Y] o resultado do primeiro lançamento e de o do segundo. Definimos duas variáveis aleatórias:
  • (a soma)
  • (a diferença)
O conteúdo aqui é probabilidade básica: expectativa, covariância e independência de variáveis aleatórias. Para resolver a parte (a) a gente vai usar a definição
e precisaremos calcular , e . Na parte (b) a gente vai lembrar a definição de variáveis independentes e dar um contra-exemplo mostrando que e não são independentes.

Passo 2

Primeiro vamos achar as expectativas de E[Di] ;=; sumk=1^6 kcdot16 ;=; 1+2+3+4+5+66 ;=; 3,5 (i=1,2) e E[X] ;=; E[D1+D2] ;=; E[D1]+E[D2] ;=; 3,5+3,5 ;=; 7, . Como o dado é justo e tem faces E[Y] ;=; E[D1-D2] ;=; E[D1]-E[D2] ;=; 3,5-3,5 ;=; 0 , cada uma com prob.\ , temos
Então
Aqui usamos a propriedade .

Passo 3

Agora precisamos de XY ;=; (D1+D2),(D1-D2) ;=; D1^2 ;-; D2^2 . Escreve:
E[D1^2] ;=; sumk=1^6 k^2cdot16 ;=;1+4+9+16+25+366 ;=;916,
Como E[XY] ;=; E[D1^2 - D2^2] ;=; E[D1^2];-;E[D2^2] ;=;916-916 ;=;0 e Cov(X,Y) ;=; E[XY] ;-; E[X],E[Y] ;=; 0 ;-; 7cdot 0 ;=;0 são independentes mas idênticos,
e o mesmo vale para . Logo
Agora a covariância:

Passo 4

Covariância zero não garante independência. Para mostrar que P(X=x,,Y=y) ;neq; P(X=x),P(Y=y) e D1+D2=7, D1-D2=0 ;Longrightarrow; D1=D2 ;land; 2D1=7, não são independentes, basta achar um par P(X=7,Y=0)=0 ;neq; 136 tal que
Toma e .
  • é a prob.\ de , ou seja, 6 casos iguais em 36 totais: .
  • é a prob.\ de , que também dá 6 combinações favoráveis em 36: .
    Logo .
    Porém, para ter e ao mesmo tempo precisaríamos de
o que não tem solução em . Logo
Isso prova que não são independentes.

Resposta

(a) .
(b) Não são independentes, pois por exemplo
P(X=7,Y=0)=0 mas P(X=7),P(Y=0)=136>0

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