A tabela abaixo dá a distribuição conjunta de X e Y :
(a) Determine as distribuições marginais de X e Y .
(b) Calcule a esperança e a variância de cada uma das variáveis X e Y.
© Verifique se X e Y são independentes, justificando sua resposta.
X
Y 1 2 3
0 0,1 0,1 0,1
1 0,2 0,0 0,3
2 0,0 0,1 0,1
(d) Calcule c|ccc hline & mu e P(X=1 mid Y=0).
(e) Calcule P(Y=2 mid X=3) e P(X <= 2).
(f) Calcule a covariância e a correlação entre P(X=2, Y <= 1) e X.

Passo 1

Beleza, então o exercício fala que temos duas variáveis aleatórias discretas X e Y com uma tabela de probabilidades conjuntas. A gente precisa de:
  • Conteúdo: distribuições marginais, esperança (E), variância (Var), independência, probabilidade condicional, covariância e correlação.
  • O que vamos usar: soma de probabilidades para marginais, definição de E e Var (E[X]=Σ x p_X(x), Var(X)=E[X²]–E[X]²), teste de independência p(x,y)=p_X(x)p_Y(y), p(A|B)=p(A∩B)/p(B), e as fórmulas de covariância e correlação.
A partir do próximo passo, mão na massa!

Passo 2

(a) Distribuições marginais
  • Definição:
    p_X(x)=Σ_y p(x,y) e p_Y(y)=Σ_x p(x,y).
  • Calculando p_Y(y):
    p_Y(0)=0,1+0,1+0,1=0,3
    p_Y(1)=0,2+0+0,3=0,5
    p_Y(2)=0+0,1+0,1=0,2
  • Calculando p_X(x):
    p_X(1)=0,1+0,2+0=0,3
    p_X(2)=0,1+0+0,1=0,2
    p_X(3)=0,1+0,3+0,1=0,5

Passo 3

(b) Esperança e variância
  1. E[X]=Σ_x x p_X(x)=1·0,3+2·0,2+3·0,5=0,3+0,4+1,5=2,2
  2. E[X²]=Σ_x x² p_X(x)=1²·0,3+2²·0,2+3²·0,5=0,3+0,8+4,5=5,6
    Var(X)=E[X²]–(E[X])²=5,6–(2,2)²=5,6–4,84=0,76
  3. E[Y]=0·0,3+1·0,5+2·0,2=0+0,5+0,4=0,9
  4. E[Y²]=0²·0,3+1²·0,5+2²·0,2=0+0,5+0,8=1,3
    Var(Y)=1,3–(0,9)²=1,3–0,81=0,49

Passo 4

© Independência
Teste: se p(x,y)=p_X(x)p_Y(y) ∀x,y. Por exemplo, p(1,0)=0,1 mas p_X(1)p_Y(0)=0,3·0,3=0,09 ≠0,1.
Logo X e Y não são independentes.

Passo 5

(d) Probabilidades condicionais
  • P(X=1|Y=0)=p(1,0)/p_Y(0)=0,1/0,3=1/3
  • P(Y=2|X=3)=p(3,2)/p_X(3)=0,1/0,5=0,2

Passo 6

(e) Outras probabilidades
  • P(X≤2)=p_X(1)+p_X(2)=0,3+0,2=0,5
  • P(X=2, Y≤1)=p(2,0)+p(2,1)=0,1+0=0,1

Passo 7

(f) Covariância e correlação
  1. E[XY]=Σ_x Σ_y x y p(x,y) = 0,2+0,9+0,4+0,6 = 2,1
  2. Cov(X,Y)=E[XY]–E[X]E[Y]=2,1–2,2·0,9=2,1–1,98=0,12
  3. ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/√(Var(X) Var(Y))
    =0,12/√(0,76·0,49)=0,12/0,6102≈0,197

Resposta

(a) p_X(1)=0,3; p_X(2)=0,2; p_X(3)=0,5.
p_Y(0)=0,3; p_Y(1)=0,5; p_Y(2)=0,2.
(b) E[X]=2,2; Var(X)=0,76.
E[Y]=0,9; Var(Y)=0,49.
© Não são independentes.
(d) P(X=1|Y=0)=1/3; P(Y=2|X=3)=0,2.
(e) P(X≤2)=0,5; P(X=2,Y≤1)=0,1.
(f) Cov(X,Y)=0,12; correlação ≈0,197.

Exercícios relacionados