Em uma caixa há vinte selos, 12 nacionais e 8 importados. Retira-se ao acaso um selo da caixa e registra-se sua origem. A seguir, retira-se outro selo da caixa, sem que o primeiro seja reposto; e anota-se a oriaem. Qual a probabilidade de saírem selos de origens diferentes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações que precisamos organizar claramente:
  • \,20\, selos no total.
  • Destes, \,12\, são nacionais e \,8\, são importados.
  • Retiram-se dois selos em sequência, sem reposição (ou seja, o segundo sorteio é feito com uma caixa com \,1\, selo a menos).
  • Anotam-se as origens dos dois selos.
O que o problema pede:
  • Calcular a probabilidade de que os dois selos sorteados tenham origens diferentes (ou seja, um nacional e outro importado, em qualquer ordem).

Passo 2

Vamos representar os eventos de forma clara (isso ajuda a organizar o cálculo):
  • Seja A o evento “primeiro selo nacional e segundo selo importado”.
  • Seja B o evento “primeiro selo importado e segundo selo nacional”.
O evento pedido (“origens diferentes”) é a união A \cup B. Note que A e B são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer ao mesmo tempo), portanto a probabilidade pedida é
P(A\cup B)=P(A)+P(B).

Passo 3

Vamos usar a regra do produto para probabilidades condicionais. A regra diz que, para dois eventos X e Y,
P(X\cap Y)=P(X)\,P(Y\mid X),
onde P(Y\mid X) é a probabilidade de Y ocorrer dado que X já ocorreu.
Aplicaremos isso para calcular P(A) e P(B), porque cada um é um acontecimento em duas etapas (primeiro sorteio e segundo sorteio dado o primeiro).

Passo 4

Calcular P(A) (primeiro nacional, depois importado):
  • Probabilidade do primeiro selo ser nacional:
    P(\text{primeiro nacional})=\frac{12}{20}.
    Explicação: há \,12\, nacionais entre \,20\, totais.
  • Dado que saiu um nacional no primeiro sorteio, sobra \,19\, selos e ainda existem \,8\, importados. Então
    P(\text{segundo importado}\mid \text{primeiro nacional})=\frac{8}{19}.
Pelo produto:
P(A)=\frac{12}{20}\cdot\frac{8}{19}=\frac{96}{380}.

Passo 5

Calcular P(B) (primeiro importado, depois nacional):
  • Probabilidade do primeiro selo ser importado:
    P(\text{primeiro importado})=\frac{8}{20}.
  • Dado que saiu um importado no primeiro sorteio, sobra \,19\, selos e existem \,12\, nacionais ainda. Então
    P(\text{segundo nacional}\mid \text{primeiro importado})=\frac{12}{19}.
Pelo produto:
P(B)=\frac{8}{20}\cdot\frac{12}{19}=\frac{96}{380}.

Passo 6

Somando as duas possibilidades (pois são mutuamente exclusivas):
P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{96}{380}+\frac{96}{380}=\frac{192}{380}.
Isso nos dá a probabilidade, ainda em forma de fração com denominador igual a \,380\,.

Passo 7

Verificação alternativa (método do complementar) — é sempre bom checar:
  • Probabilidade de ambos nacionais: P(\text{ambos nacionais})=\frac{12}{20}\cdot\frac{11}{19}=\frac{132}{380}.
  • Probabilidade de ambos importados: P(\text{ambos importados})=\frac{8}{20}\cdot\frac{7}{19}=\frac{56}{380}.
  • Soma (ambas as origens iguais) = \dfrac{132}{380}+\dfrac{56}{380}=\dfrac{188}{380}.
Logo a probabilidade de origens diferentes é
1-\frac{188}{380}=\frac{192}{380},
confirmando o cálculo anterior.

Resposta

\dfrac{48}{95}

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