Em uma caixa há vinte selos, 12 nacionais e 8 importados. Retira-se ao acaso um selo da caixa e registra-se sua origem. A seguir, retira-se outro selo da caixa, sem que o primeiro seja reposto; e anota-se a oriaem. Qual a probabilidade de saírem selos de origens diferentes?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações que precisamos organizar claramente:
- Há
selos no total. - Destes,
são nacionais e são importados. - Retiram-se dois selos em sequência, sem reposição (ou seja, o segundo sorteio é feito com uma caixa com
selo a menos). - Anotam-se as origens dos dois selos.
O que o problema pede:
- Calcular a probabilidade de que os dois selos sorteados tenham origens diferentes (ou seja, um nacional e outro importado, em qualquer ordem).
Passo 2
Vamos representar os eventos de forma clara (isso ajuda a organizar o cálculo):
- Seja
o evento “primeiro selo nacional e segundo selo importado”. - Seja
o evento “primeiro selo importado e segundo selo nacional”.
O evento pedido (“origens diferentes”) é a união
. Note que
e
são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer ao mesmo tempo), portanto a probabilidade pedida é
Passo 3
Vamos usar a regra do produto para probabilidades condicionais. A regra diz que, para dois eventos
e
,
onde
é a probabilidade de
ocorrer dado que
já ocorreu.
Aplicaremos isso para calcular
e
, porque cada um é um acontecimento em duas etapas (primeiro sorteio e segundo sorteio dado o primeiro).
Passo 4
Calcular
(primeiro nacional, depois importado):
-
Probabilidade do primeiro selo ser nacional:Explicação: há
nacionais entre totais. -
Dado que saiu um nacional no primeiro sorteio, sobra
selos e ainda existem importados. Então
Pelo produto:
Passo 5
Calcular
(primeiro importado, depois nacional):
-
Probabilidade do primeiro selo ser importado:
-
Dado que saiu um importado no primeiro sorteio, sobra
selos e existem nacionais ainda. Então
Pelo produto:
Passo 6
Somando as duas possibilidades (pois são mutuamente exclusivas):
Isso nos dá a probabilidade, ainda em forma de fração com denominador igual a
.
Passo 7
Verificação alternativa (método do complementar) — é sempre bom checar:
- Probabilidade de ambos nacionais:
- Probabilidade de ambos importados:
- Soma (ambas as origens iguais) =
.
Logo a probabilidade de origens diferentes é
confirmando o cálculo anterior.