Exemplo
Numa urna há 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Retiram-se duas bolinhas dessa urna, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de ter saído na primeira bola um número par e na segunda bola um múltiplo de 5 ?

Passo 1

O enunciado: numa urna há 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Retiram-se duas bolinhas uma após a outra, sem reposição. Pergunta: qual a probabilidade de que tenha saído na primeira bola um número par e na segunda bola um múltiplo de 5?
Informações dadas que vamos usar:
  • Existem 20 bolinhas no total, numeradas de 1 a 20.
  • A retirada é feita sem reposição (isso importa porque a segunda retirada depende da primeira).
  • Números pares entre 1 e 20: são 2,4,6,\dots,20, ou seja, 10 números.
  • Múltiplos de 5 entre 1 e 20: são 5,10,15,20, ou seja, 4 números.
  • Há interseção entre pares e múltiplos de 5: são 10 e 20, ou seja, 2 números que são ao mesmo tempo pares e múltiplos de 5.
O que precisamos encontrar: a probabilidade do evento “primeira bola é par” e "segunda bola é múltiplo de 5" (ordem importa).

Passo 2

Escolha do método: vou usar contagem direta de resultados equiprováveis (contar sequências ordenadas possíveis) porque aqui cada sequência (primeiro número, segundo número) tem a mesma probabilidade e isso é simples de aplicar sem fórmulas pesadas. Depois mostro também o método com probabilidade condicional para confirmar — assim você aprende os dois jeitos.
Conceito importante (rápido aulinha): quando retiramos sem reposição, os resultados são pares ordenados (x_1,x_2) com x_1\neq x_2. O número total de sequências possíveis é 20 escolhas para a primeira e, para cada uma, 19 escolhas para a segunda, totalizando 20\cdot19 sequências equiprováveis.

Passo 3

Calcular o espaço amostral total (número de sequências possíveis):
\text{total} = 20 \times 19 = 380.
Explicação: para a primeira retirada há 20 opções; após tirar uma, restam 19 opções para a segunda. Como a ordem importa, multiplicamos.

Passo 4

Contar sequências favoráveis (primeira é par e segunda é múltiplo de 5):
Vamos separar dois casos, conforme a primeira bola escolhida seja ou não um múltiplo de 5, porque isso altera quantos múltiplos de 5 restam para a segunda retirada.
Caso A: a primeira bola é par e também múltiplo de 5.
  • Como eu observei no passo 1, os pares que são múltiplos de 5 são 10 e 20, ou seja, 2 opções.
  • Se a primeira foi uma dessas 2, então resta apenas 3 múltiplos de 5 para a segunda (porque dos 4 múltiplos iniciais um já saiu).
  • Número de sequências favoráveis neste caso: 2 \times 3 = 6.
Caso B: a primeira bola é par, mas não é múltiplo de 5.
  • 10 pares no total e 2 deles já contados no caso A, logo restam 8 pares que não são múltiplos de 5.
  • Se a primeira foi um desses 8, então ainda continuam disponíveis os 4 múltiplos de 5 para a segunda.
  • Número de sequências favoráveis neste caso: 8 \times 4 = 32.
Somando os dois casos:
\text{favoráveis} = 6 + 32 = 38.á
Comentário didático: separar casos assim evita erro na contagem por dependência entre as retiradas — é uma técnica padrão quando a condição do segundo evento depende de qual elemento saiu primeiro.

Passo 5

Calcular a probabilidade como razão entre favoráveis e total:
P = \frac{\text{favoráveis}}{\text{total}} = \frac{38}{380}.á

Passo 6

Simplificação da fração:
\frac{38}{380} = \frac{38\div38}{380\div38} = \frac{1}{10}.
Explicando a simplificação: dividi numerador e denominador por 38, que é o maior divisor comum aqui.

Passo 7

Interpretação e verificação alternativa (aula rápida sobre probabilidade condicional):
Usando a fórmula P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A), onde A = “primeira é par” e B = "segunda é múltiplo de 5":
  • P(A)=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}.
  • Se já ocorreu A, então com probabilidade \dfrac{2}{10} a primeira foi um par que é múltiplo de 5 (isto é, 10 ou 20), e com probabilidade \dfrac{8}{10} foi um par que não é múltiplo de 5.
  • Assim
P(B\mid A)=\frac{2}{10}\cdot\frac{3}{19}+\frac{8}{10}\cdot\frac{4}{19}=\frac{38}{190}=\frac{19}{95}.
  • Então
P(A\cap B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{19}{95}=\frac{19}{190}=\frac{1}{10}.
Resultado bate com a contagem direta. Legal, né? Dois caminhos, mesma resposta — isso dá segurança na hora da prova.

Resposta

\dfrac{1}{10}

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