Exemplo
Numa urna há 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Retiram-se duas bolinhas dessa urna, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de ter saído na primeira bola um número par e na segunda bola um múltiplo de 5 ?
Passo 1
O enunciado: numa urna há 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Retiram-se duas bolinhas uma após a outra, sem reposição. Pergunta: qual a probabilidade de que tenha saído na primeira bola um número par e na segunda bola um múltiplo de 5?
Informações dadas que vamos usar:
- Existem
bolinhas no total, numeradas de a . - A retirada é feita sem reposição (isso importa porque a segunda retirada depende da primeira).
- Números pares entre
e : são , ou seja, números. - Múltiplos de
entre e : são , ou seja, números. - Há interseção entre pares e múltiplos de
: são e , ou seja, números que são ao mesmo tempo pares e múltiplos de .
O que precisamos encontrar: a probabilidade do evento “primeira bola é par” e "segunda bola é múltiplo de
" (ordem importa).
Passo 2
Escolha do método: vou usar contagem direta de resultados equiprováveis (contar sequências ordenadas possíveis) porque aqui cada sequência (primeiro número, segundo número) tem a mesma probabilidade e isso é simples de aplicar sem fórmulas pesadas. Depois mostro também o método com probabilidade condicional para confirmar — assim você aprende os dois jeitos.
Conceito importante (rápido aulinha): quando retiramos sem reposição, os resultados são pares ordenados
com
. O número total de sequências possíveis é
escolhas para a primeira e, para cada uma,
escolhas para a segunda, totalizando
sequências equiprováveis.
Passo 3
Calcular o espaço amostral total (número de sequências possíveis):
Explicação: para a primeira retirada há
opções; após tirar uma, restam
opções para a segunda. Como a ordem importa, multiplicamos.
Passo 4
Contar sequências favoráveis (primeira é par e segunda é múltiplo de
):
Vamos separar dois casos, conforme a primeira bola escolhida seja ou não um múltiplo de , porque isso altera quantos múltiplos de
restam para a segunda retirada.
Vamos separar dois casos, conforme a primeira bola escolhida seja ou não um múltiplo de
Caso A: a primeira bola é par e também múltiplo de
.
- Como eu observei no passo 1, os pares que são múltiplos de
são e , ou seja, opções. - Se a primeira foi uma dessas
, então resta apenas múltiplos de para a segunda (porque dos múltiplos iniciais um já saiu). - Número de sequências favoráveis neste caso:
.
Caso B: a primeira bola é par, mas não é múltiplo de
.
- Há
pares no total e deles já contados no caso A, logo restam pares que não são múltiplos de . - Se a primeira foi um desses
, então ainda continuam disponíveis os múltiplos de para a segunda. - Número de sequências favoráveis neste caso:
.
Somando os dois casos:
Comentário didático: separar casos assim evita erro na contagem por dependência entre as retiradas — é uma técnica padrão quando a condição do segundo evento depende de qual elemento saiu primeiro.
Passo 5
Calcular a probabilidade como razão entre favoráveis e total:
Passo 6
Simplificação da fração:
Explicando a simplificação: dividi numerador e denominador por
, que é o maior divisor comum aqui.
Passo 7
Interpretação e verificação alternativa (aula rápida sobre probabilidade condicional):
Usando a fórmula , onde
= “primeira é par” e
= "segunda é múltiplo de
":
Usando a fórmula
-
. - Se já ocorreu
, então com probabilidade a primeira foi um par que é múltiplo de (isto é, ou ), e com probabilidade foi um par que não é múltiplo de . - Assim
- Então
Resultado bate com a contagem direta. Legal, né? Dois caminhos, mesma resposta — isso dá segurança na hora da prova.