Uma caixa é mantida em posição, em um plano inclinado sem atrito por um cabo. Se θ= 60º e m = 50 kg, encontre a tensão no cabo e a força normal exercida pelo plano inclinado. (b) Encontre a tensão em função de θ e de m, e teste a plausibilidade de seu resultado para os casos especiais de θ = 0º e θ = 90º.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física! A gente tem uma caixa de 50 kg que está parada num plano inclinado sem atrito, e um cabo está segurando ela. O ângulo do plano é de 60º. Nosso objetivo é encontrar a tensão no cabo e a força normal que o plano exerce na caixa. Além disso, vamos descobrir como essa tensão muda com o ângulo do plano e ver se os resultados fazem sentido quando o ângulo for 0º e 90º. Para isso, vamos usar princípios de estática e decomposição de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na caixa. Temos três forças principais:
  1. O peso da caixa, que puxa para baixo, com intensidade $ P = m \cdot g $.
  2. A tensão no cabo, que vai puxar a caixa para cima ao longo do plano.
  3. A força normal, que é perpendicular ao plano inclinado.

Passo 3

Vamos decompor o peso da caixa em duas componentes:
  • Uma paralela ao plano: $ P_{\parallel} = m \cdot g \cdot \sin(\theta) $
  • Uma perpendicular ao plano: $ P_{\perp} = m \cdot g \cdot \cos(\theta) $
Isso ajuda a simplificar porque a força normal e a tensão vão equilibrar essas componentes.

Passo 4

Como a caixa está em equilíbrio, as forças paralelas e perpendiculares ao plano devem se equilibrar:
  • Na direção paralela: Tensão $ T = P_{\parallel} = m \cdot g \cdot \sin(\theta) $
  • Na direção perpendicular: Força normal $ N = P_{\perp} = m \cdot g \cdot \cos(\theta) $

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores numéricos usando $ m = 50 $ kg, $ g = 9,8 $ m/s² e $ \theta = 60º $:
  • Tensão: $ T = 50 \cdot 9,8 \cdot \sin(60º) $
  • Força normal: $ N = 50 \cdot 9,8 \cdot \cos(60º) $

Passo 6

Calculando:
  • $ \sin(60º) \approx 0,8660 $
  • $ \cos(60º) = 0,5 $
    Então:
  • $ T = 50 \cdot 9,8 \cdot 0,8660 \approx 424,7 $ N
  • $ N = 50 \cdot 9,8 \cdot 0,5 = 245 $ N

Passo 7

Para a parte (b), queremos a tensão em função de $ \theta $ e $ m $:
theta
Agora, vamos testar para $ \theta = 0º $ e $ \theta = 90º $:
- Para $ \theta = 0º $: $ \sin(0º) = 0 $ ⇒ $ T = 0 $ N (faz sentido, porque o plano é horizontal e não precisa de tensão para segurar a caixa)
- Para $ \theta = 90º $: $ \sin(90º) = 1 $ ⇒ $ T = m \cdot g $ (faz sentido, porque o cabo precisa segurar toda a força do peso da caixa)

Resposta

A tensão no cabo é aproximadamente 424,7 N e a força normal exercida pelo plano inclinado é 245 N. Além disso, a tensão em função de $ \theta $ e $ m $ é $ T(\theta) = m \cdot g \cdot \sin(\theta) $, o que faz sentido para os casos especiais de $ \theta = 0º $ e $ \theta = 90º $.

Exercícios relacionados