Uma caixa de massa m=5,00 kg é solta do repouso de uma altura he=2.50 metros em uma rampa sobre a qual pode deslizar e subir outra rampa com atrito (com coeficiente de atrito cinético muk=0,500) a qual forma um ângulo theta=15^circ com a horizontal, percorrendo uma distância d até parar momentaneamente.
Qual será a distância d percorrida pela caixa sobre a segunda rampa?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa de massa m = 5,00 , kg que é solta do repouso de uma altura he = 2,50 , m. Ela desliza por uma rampa e sobe outra rampa inclinada com um ângulo theta = 15^circ e atrito cinético com coeficiente muk = 0,500. Precisamos descobrir qual é a distância d que a caixa percorre na segunda rampa até parar. Para isso, vamos usar conceitos de energia e trabalho, além de entender como o atrito atua no movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na energia que a caixa tem quando está na altura he. Como ela está parada no início, toda essa energia é energia potencial gravitacional, dada por:
Ep = m cdot g cdot he
Onde:
  • m é a massa da caixa,
  • g é a aceleração da gravidade ( approx 9,81 , m/s²²),
  • he é a altura inicial.

Passo 3

Quando a caixa desce a primeira rampa sem atrito e chega na base, toda essa energia potencial se transforma em energia cinética:
Ek = 12 m v^2
Mas como não precisamos achar a velocidade, podemos usar diretamente a conservação da energia: a energia potencial inicial será igual ao trabalho total realizado para parar a caixa na segunda rampa.

Passo 4

Na segunda rampa, a caixa está subindo contra duas forças que fazem o trabalho para pará-la:
  1. A força da gravidade que puxa a caixa para baixo.
  2. A força de atrito que resiste ao movimento.
O trabalho total feito por essas forças será igual à energia que a caixa tinha na base.

Passo 5

Vamos calcular o trabalho feito pela gravidade ao subir a rampa. A altura que a caixa sobe na rampa é h' = d cdot sin(theta), então o trabalho é:
Wgravidade = m cdot g cdot h' = m cdot g cdot d cdot sin(theta)

Passo 6

Agora, o trabalho feito pelo atrito. A força de atrito é:
fatrito = muk cdot N
Onde N é a força normal. Em uma rampa inclinada, N = m cdot g cdot cos(theta). Então:
fatrito = muk cdot m cdot g cdot cos(theta)
O trabalho do atrito ao longo da distância d é:
Watrito = fatrito cdot d = muk cdot m cdot g cdot cos(theta) cdot d

Passo 7

A energia inicial da caixa é igual ao trabalho total realizado para pará-la:
m cdot g cdot he = m cdot g cdot d cdot sin(theta) + muk cdot m cdot g cdot cos(theta) cdot d
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por m cdot g:
he = d cdot sin(theta) + muk cdot d cdot cos(theta)

Passo 8

Agora, vamos isolar d:
he = d cdot (sin(theta) + muk cdot cos(theta))
d = hesin(theta) + muk cdot cos(theta)

Passo 9

Vamos substituir os valores:
  • he = 2,50 , m
  • theta = 15^circ
  • muk = 0,500
Primeiro, calculamos sin(15^circ) e cos(15^circ):
sin(15^circ) approx 0,2588
cos(15^circ) approx 0,9659
Agora, substituímos na fórmula de d:
d = 2,500,2588 + 0,500 times 0,9659
d = 2,500,2588 + 0,48295 = 2,500,74175 approx 3,37 , m

Resposta

A distância percorrida pela caixa sobre a segunda rampa é aproximadamente 3,37 , metros.

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