Uma caixa de massa
é solta do repouso de uma altura
metros em uma rampa sobre a qual pode deslizar e subir outra rampa com atrito (com coeficiente de atrito cinético
) a qual forma um ângulo
com a horizontal, percorrendo uma distância
até parar momentaneamente.
Qual será a distância
percorrida pela caixa sobre a segunda rampa?
Qual será a distância
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa de massa
que é solta do repouso de uma altura
. Ela desliza por uma rampa e sobe outra rampa inclinada com um ângulo
e atrito cinético com coeficiente
. Precisamos descobrir qual é a distância
que a caixa percorre na segunda rampa até parar. Para isso, vamos usar conceitos de energia e trabalho, além de entender como o atrito atua no movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia que a caixa tem quando está na altura
. Como ela está parada no início, toda essa energia é energia potencial gravitacional, dada por:
Onde:
-
é a massa da caixa, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura inicial.
Passo 3
Quando a caixa desce a primeira rampa sem atrito e chega na base, toda essa energia potencial se transforma em energia cinética:
Mas como não precisamos achar a velocidade, podemos usar diretamente a conservação da energia: a energia potencial inicial será igual ao trabalho total realizado para parar a caixa na segunda rampa.
Passo 4
Na segunda rampa, a caixa está subindo contra duas forças que fazem o trabalho para pará-la:
- A força da gravidade que puxa a caixa para baixo.
- A força de atrito que resiste ao movimento.
O trabalho total feito por essas forças será igual à energia que a caixa tinha na base.
Passo 5
Vamos calcular o trabalho feito pela gravidade ao subir a rampa. A altura que a caixa sobe na rampa é
, então o trabalho é:
Passo 6
Agora, o trabalho feito pelo atrito. A força de atrito é:
Onde
é a força normal. Em uma rampa inclinada,
. Então:
O trabalho do atrito ao longo da distância
é:
Passo 7
A energia inicial da caixa é igual ao trabalho total realizado para pará-la:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, vamos isolar
:
Passo 9
Vamos substituir os valores:
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, substituímos na fórmula de
:
Resposta
A distância percorrida pela caixa sobre a segunda rampa é aproximadamente
.