Um tubo adaptado a uma torneira e situado 1,0 m acima do solo, jorra água para cima, formando um ângulo de 40^circ com o chão. O jato de água atinge uma horta a 10 m de distância. Com que velocidade o jato sai do tubo? Que altura ele atinge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um jato de água que sai de um tubo posicionado a 1,0 metro do chão, formando um ângulo de 40° com o chão e alcançando uma horta a 10 metros de distância. A gente vai trabalhar com movimento projetado para descobrir duas coisas: a velocidade com que a água sai do tubo e a altura máxima que ela alcança. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de física relacionadas a projéteis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do jato de água. Quando a água sai do tubo, ela tem uma velocidade inicial $ v_0 $ que forma um ângulo de $ 40^\circ $ com o chão. Esse movimento pode ser decomposto em duas direções: horizontal e vertical.
  • Componente horizontal da velocidade: $ v_{0x} = v_0 \cos(\theta) $
  • Componente vertical da velocidade: $ v_{0y} = v_0 \sin(\theta) $
Onde $ \theta = 40^\circ $.

Passo 3

Vamos calcular o tempo que a água leva para atingir a horta que está a 10 metros de distância. Sabendo que a componente horizontal da velocidade é constante (não há aceleração horizontal), podemos usar a fórmula:
Distância = v0x times t â
Então:
10 = v0 cos(40^circ) times t
Aqui, nosso objetivo é encontrar o tempo $ t $, mas ainda não temos $ v_0 $. Precisamos de outra equação para relacionar $ v_0 $ e $ t $.

Passo 4

Agora, vamos analisar o movimento vertical. A água começa a subir com uma velocidade vertical $ v_{0y} = v_0 \sin(40^\circ) $ e é puxada pela gravidade para baixo ($ g = 9,8 , m/s^2 $). A altura máxima $ H $ que a água atinge pode ser encontrada usando a fórmula:
v0y = v0 sin(40^circ)
Onde $ h_0 = 1,0 , m $ é a altura inicial do tubo.

Passo 5

Vamos relacionar o tempo de voo com a altura. Sabemos que a água atinge o chão (horta) após percorrer 10 metros horizontalmente. A posição vertical final é $ y = 0 $ (no chão), e a posição inicial é $ y_0 = 1,0 , m $. A equação do movimento vertical é:
y = 0
Para $ y = 0 $:
y0 = 1,0 , m
Isso nos dá uma equação para resolver $ t $ em termos de $ v_0 $.

Passo 6

Vamos resolver as duas equações juntas. Da Passo 3:
10 = v0 cos(40^circ) times t
Rightarrow t = 10v0 cos(40^circ)
Substituindo $ t $ na equação da Passo 5:
t
Simplificando:
0 = 1,0 + v0 sin(40^circ) times 10v0 cos(40^circ) - 12 times 9,8 times ( 10v0 cos(40^circ) )^2

Passo 7

Vamos isolar $ v_0^2 $:
v0^2
12 times 9,8 times 100v0^2 cos^2(40^circ) = 1,0 + 10 tan(40^circ)
490v0^2 cos^2(40^circ) = 1,0 + 10 times 0,8391
490v0^2 cos^2(40^circ) = 1,0 + 8,391

Passo 8

Agora, resolvemos para $ v_0^2 $:
v0^2
Calculando $ \cos(40^\circ) \approx 0,7660 $:
v0^2 = 4909,391 times cos^2(40^circ)
cos(40^circ) approx 0,7660
v0^2 = 4909,391 times (0,7660)^2
v0^2 = 4909,391 times 0,5868
v0^2 = 4905,517
v0^2 approx 88,8

Passo 9

Agora que temos $ v_0 $, vamos calcular a altura máxima $ H $ usando a fórmula da Passo 4:
v0
Calculando $ \sin(40^\circ) \approx 0,6428 $:
H
H = 1,0 + (v0 sin(40^circ))^22 times 9,8
sin(40^circ) approx 0,6428
H = 1,0 + (9,43 times 0,6428)^219,6
H = 1,0 + (6,06)^219,6

Resposta

A velocidade com que o jato de água sai do tubo é aproximadamente 9,43 m/s e a altura máxima que ele atinge é cerca de 2,87 metros.

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