Uma caixa de massa m=5,00 \mathrm{~kg} é solta do repouso desde uma altura h_{0}=2,50 metros em uma rampa sobre a qual pode deslizar sem atrito desde o ponto A até o ponto B. Em seguida, a caixa pode subir outra rampa com atrito (com coeficiente de atrito cinético \mu_{k}=0,500 ) a qual forma um ângulo \theta=15^{\circ} \mathrm{com} a horizontal, percorrendo uma distância d até parar momentaneamente.
(a) Qual é a velocidade da caixa no ponto B ?
(b) Qual é o trabalho feito pela força de atrito para a caixa percorrer a distância d ?
(c) Qual será a distancia d percorrida pela caixa sobre a segunda rampa?
Horário
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Passo 1

O enunciado descreve duas fases de movimento da caixa de massa m=5{,}00\:\mathrm{kg}:
  1. Desce sem atrito desde a altura h_{0}=2{,}50\:\mathrm{m} até o ponto B.
  2. Sobe uma rampa com atrito (coeficiente \mu_{k}=0{,}500) inclinada de ângulo \theta=15^\circ até parar após percorrer uma distância d.
Para (a) usamos conservação de energia (potencial gravitacional vira energia cinética).
Para (b) aplicamos o teorema do trabalho e energia na subida: o trabalho da força de atrito vale -f_{k}\,d.
Para (c) usamos a energia cinética inicial em B e igualamos ao ganho de energia gravitacional mais o trabalho dissipa­do pelo atrito.

Passo 2

Conservação de energia entre o ponto A (repouso, altura h_{0}) e B (altura zero, velocidade v_{B}):
m g h_{0} = \tfrac12 m v_{B}^{2}.
Cancelando m e resolvendo para v_{B}:
v_{B} = \sqrt{2 g h_{0}} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\:\mathrm{m/s^{2}}\cdot 2{,}50\:\mathrm{m}} = 7{,}00\:\mathrm{m/s}.

Passo 3

Na subida, o trabalho da força de atrito cinético (sempre negativo) ao longo de d é
W_{\mathrm{at}} = -f_{k}\,d = -\mu_{k}\,N\,d = -\mu_{k}\,m g \cos\theta\;d.
Substituindo \mu_{k}=0{,}500, m=5{,}00\:\mathrm{kg}, g=9{,}8\:\mathrm{m/s^{2}} e \theta=15^\circ, fica
W_{\mathrm{at}} = -0{,}500 \cdot 5{,}00\cdot 9{,}8\cdot\cos15^\circ\;d \approx -23{,}67\;d\quad (\mathrm{J}),
ou, numericamente após achar d, veremos que vale cerca de -7,98\times10^{1}\:\mathrm{J}.

Passo 4

Aplicando o teorema da energia entre o ponto B (energia cinética inicial) e o ponto onde pára (energia cinética zero):
\tfrac12 m v_{B}^{2} - m g d \sin\theta + W_{\mathrm{at}} =0.
Substituindo W_{\mathrm{at}}=-\mu_{k}m g\cos\theta\,d e v_{B}^{2}=2gh_{0}:
m g h_{0} - m g d \sin\theta - \mu_{k}m g d \cos\theta = 0.
Cancelando m g e isolando d:
d = \frac{h_{0}}{\sin\theta + \mu_{k}\cos\theta} = \frac{2{,}50}{\sin15^\circ + 0{,}500\cos15^\circ} \approx 3{,}37\:\mathrm{m}.
Substituindo esse d em W_{\mathrm{at}}=-\mu_{k}m g\cos\theta\,d
W_{\mathrm{at}}\approx -0{,}500\cdot5{,}00\cdot9{,}8\cdot\cos15^\circ\cdot3{,}37 \approx -7{,}98\times10^{1}\:\mathrm{J}.

Resposta

(a) v_{B}=7{,}00\:\mathrm{m/s}.
(b) W_{\mathrm{at}}=-\mu_{k}m g\cos\theta\,d\approx -7{,}98\times10^{1}\:\mathrm{J}.
(c) d\approx3{,}37\:\mathrm{m}.

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