Voce esta puxando uma caixa de 50 kg sobre um piso molhado usando uma corda que forma um angulo de 40^{\circ} com a horizontal. A caixa está inicialmente em repouso e os coeficientes de atrito estático e cinético sāo \mu_{e}=0,20 e \mu_{c}=0,15. Encontre a magnitude da força de atrito (estático ou cinético) exercida pelo piso sobre a caixa e a magnitude da aceleração da caixa se a tensão na corda é:
(a) T=100 \mathrm{~N},
(b) T=140 \mathrm{~N},

Passo 1

Temos uma caixa de massa m=50\,\mathrm{kg} sobre um piso molhado. Aplicamos uma tensão T numa corda que faz ângulo de 40^\circ com a horizontal. Queremos a força de atrito exercida pelo piso (que pode ser estático ou cinético) e a aceleração da caixa. Vamos usar:
  • Decomposição de forças em eixos horizontal e vertical,
  • Equilíbrio vertical para achar a normal N,
  • Atrito estático máximo \mu_e N e atrito cinético \mu_c N,
  • Segunda lei de Newton no eixo horizontal.

Passo 2

Para um valor genérico de T:
N = mg - T\sin40^\circ
f_{s,\max} = \mu_e\,N
T_x = T\cos40^\circ
Se T_x \le f_{s,\max}, a caixa fica em repouso e f_{\mathrm{at}}=T_x, a=0.
Se T_x > f_{s,\max}, a caixa desliza e
f_{\mathrm{at}} = f_k = \mu_c\,N, \quad m a = T_x - f_k.

Passo 3

Caso (a): T=100\,\mathrm{N}
Calculemos: \sin40^\circ\approx0,643, \cos40^\circ\approx0,766.
N = 50\cdot9,81 - 100\cdot0,643 \approx 490,5 - 64,3 = 426,2\,\mathrm{N}
f_{s,\max} = 0,20\cdot426,2 \approx 85,2\,\mathrm{N}
T_x = 100\cdot0,766 = 76,6\,\mathrm{N}
Como T_x = 76,6 < 85,2 = f_{s,\max}, a caixa permanece em repouso.
Logo
f_{\mathrm{at}} = T_x = 76,6\,\mathrm{N}, \quad a = 0.

Passo 4

Caso (b): T=140\,\mathrm{N}
N = 50\cdot9,81 - 140\cdot0,643 \approx 490,5 - 90,0 = 400,5\,\mathrm{N}
f_{s,\max} = 0,20\cdot400,5 \approx 80,1\,\mathrm{N}
T_x = 140\cdot0,766 = 107,2\,\mathrm{N}
Aqui T_x = 107,2 > 80,1 = f_{s,\max}, então há deslizamento. Usamos atrito cinético:
f_k = \mu_c\,N = 0,15\cdot400,5 \approx 60,1\,\mathrm{N}
A resultante horizontal é
F_{\mathrm{res}} = T_x - f_k = 107,2 - 60,1 = 47,1\,\mathrm{N}
e a aceleração
a = \frac{F_{\mathrm{res}}}{m} = \frac{47,1}{50} \approx 0,94\,\mathrm{m/s^2}.

Resposta

(a) f_{\mathrm{at}}=76,6\,\mathrm{N} (estático), a=0.
(b) f_{\mathrm{at}}=60,1\,\mathrm{N} (cinético), a\approx0,94\,\mathrm{m/s^2}.

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