Uma caixa de massa m desliza sobre uma mesa inclinada com ângulo theta e coeficiente de atrito mu. A caixa está conectada por uma corda que passa por uma roldana a um corpo de massa M, pendurado ao lado da mesa. Determine:
  • a aceleração do sistema.
  • a tensão da corda.
  • se a corda do bloco m soltar, com qual velocidade ele vai deslizar na mesa inclinada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma caixa de massa deslizando por uma mesa inclinada com ângulo e coeficiente de atrito . Ela está ligada por uma corda que passa por uma roldana a um corpo de massa pendurado. Vamos usar conceitos de leis de Newton, forças em planos inclinados e atrito para resolver as três partes desse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de forças para cada massa. Para a caixa na inclinação, temos:
  • Peso atuando para baixo.
  • Componente do peso paralela à inclinação: .
  • Componente do peso perpendicular à inclinação: .
  • Força de atrito: .
  • Tensão da corda: .
Para o corpo pendurado:
  • Peso atuando para baixo.
  • Tensão da corda: atuando para cima.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada massa.
Para a caixa na inclinação:
A soma das forças na direção do movimento (para baixo na inclinação):
m a = m g sin(theta) - T - f
Substituindo m a = m g sin(theta) - T - mu m g cos(theta) :
M a = M g - T
Para o corpo pendurado:
A soma das forças na direção do movimento (para baixo):

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. T = M g - M a
Vamos resolver para e .
Primeiro, da segunda equação, isolamos :

Passo 5

Substituímos m a = m g sin(theta) - (M g - M a) - mu m g cos(theta) na primeira equação:
m a = m g sin(theta) - M g + M a - mu m g cos(theta)
Simplificando:
m a - M a = m g sin(theta) - M g - mu m g cos(theta)
Reagrupando termos com a (m - M) = g (m sin(theta) - M - mu m cos(theta)) :

Passo 6

Isolamos a = g (m sin(theta) - M - mu m cos(theta))m - M :

Passo 7

Agora, para encontrar a tensão T = M g - M a , usamos a expressão que encontramos antes:
T = M g - M ( g (m sin(theta) - M - mu m cos(theta))m - M )
Substituindo T = M g (m - M) - M g (m sin(theta) - M - mu m cos(theta))m - M :
T = M g m - M^2 g - M g m sin(theta) + M^2 g + mu M g m cos(theta)m - M
Simplificando:
T = M g m (1 - sin(theta) + mu cos(theta))m - M

Passo 8

Por último, para a velocidade com que a caixa desliza quando a corda solta, usamos a equação da movimento uniformemente acelerado:
v = raiz2 a d
Assumindo que a caixa parte do repouso e percorre uma distância na inclinação.

Resposta

A aceleração do sistema é:
a = g (m sin(theta) - M - mu m cos(theta))m - M
A tensão da corda é:
T = M g m (1 - sin(theta) + mu cos(theta))m - M
A velocidade com que a caixa desliza após a corda soltar, ao percorrer uma distância v = raiz2 a d , é:

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